[論文レビュー] String topology of classifying spaces

David Chataur, Luc Menichi|ArXiv.org|Dec 31, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 40被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、有限またはコンパクトな連結リー群 $G$ に対して、係数を体にとったとき、分類空間 $BG$ の自由ループ空間の特異ホモロジーがホモロジー的コンformal field theoryをなすことを確立する。同論文は、$G$ の特異チェインのホッホシュィルドコホモロジーとの代数的同型を介して、$H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ がバタリン＝ヴィルコフスキー代数構造を持つことを証明し、Umkehr写像とプロップ（props）を用いて場の理論的作用素を構成する。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group or a compact connected Lie group and let $BG$ be its classifying space. Let $\mathcal{L}BG:=map(S^1,BG)$ be the free loop space of $BG$ i.e. the space of continuous maps from the circle $S^1$ to $BG$. The purpose of this paper is to study the singular homology $H_*(\mathcal LBG)$ of this loop space. We prove that when taken with coefficients in a field the homology of $\mathcal LBG$ is a homological conformal field theory. As a byproduct of our main theorem, we get a Batalin-Vilkovisky algebra structure on the cohomology $H^*(\mathcal LBG)$. We also prove an algebraic version of this result by showing that the Hochschild cohomology $HH^*(S_* (G),S_*(G))$ of the singular chains of $G$ is a Batalin-Vilkovisky algebra.

研究の動機と目的

• 有限およびコンパクトなリー群の自由ループ空間 $\mathcal{L}BG$ のホモロジーに場の理論的構造を確立すること。
• 係数体 $\mathbb{F}$ 上で $H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ がホモロジー的コンフォーマル場理論であることを示し、ストリングトポロジーを分類空間へ一般化すること。
• 特異チェインのホッホシュィルドコホモロジーとの同型を介して、$H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ がバタリン＝ヴィルコフスキー代数構造を持つことを証明すること。
• Umkehr写像とマッピング空間からの方向性クラスを用いて、$H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ 上にプロップ作用を構成すること。
• ホッホシュィルドコホモロジーとプロップを用いた代数的トポロジー的手法により、ストリングトポロジー作用素を分類空間へ一般化すること。

提案手法

• 有限群に対しては転送写像、リー群に対してはファイバーに沿った積分を用いるUmkehr写像（転送写像）を用いて、$\mathcal{L}BG$ 上のストリングトポロジー作用素を定義する。
• リーマン面のセガールプロップと関連するプロップを用いて、位相的場理論構造をモデル化する。
• Künneth同型とホモトピー同値 $f: F/\partial_{\text{in}} \to \vee_{-\chi(F)} S^1$ を用いて、$H_{-d\chi(F)}(\text{map}_*(F/\partial_{\text{in}}, X); \mathbb{F})$ 内に標準的生成子 $w_f$ を構成する。
• ホモトピー同値の選択に依存しない方向性準同型 $Or(F): \text{det}H_1(F, \partial_{\text{in}}; \mathbb{Z})^{\otimes d} \to H_{-d\chi(F)}(\text{map}_*(F/\partial_{\text{in}}, X); \mathbb{F})$ を定義する。
• 得られた構造により、$H_*(\mathcal{L}X; \mathbb{F})$ がプロップの準同型を介して $d$ 次元の非単位的かつ非余単位的コンフォーマル場理論であることが示される。
• ブルヘレア＝フェデラーおよびグッドウィリアの既知の結果を活用して、$H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ と $HH^*(S_*(G), S_*(G))$ の間に同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分類空間 $BG$ の自由ループ空間ホモロジー $H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ は、有限群またはコンパクトなリー群に対してホモロジー的コンフォーマル場理論構造をもつか？
• RQ2 $H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ 上のバタリン＝ヴィルコフスキー代数構造は、ストリングトポロジー作用素によって幾何学的に実現可能か？
• RQ3 マッピング空間からのUmkehr写像と方向性クラスは、$\mathcal{L}BG$ 上の場の理論的作用素を構成するためにどのように寄与するか？
• RQ4 $H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ 上のプロップ作用は、ホモトピー同値による生成子の構成における選択に依存しないか？
• RQ5 $H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ とホッホシュィルドコホモロジー $HH^*(S_*(G), S_*(G))$ の正確な関係は何か？

主な発見

• 有限群およびコンパクトな連結リー群に対して、係数体 $\mathbb{F}$ 上で、特異ホモロジー $H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ は、有限次元ホモロジーを持つ場合にホモロジー的コンフォーマル場理論をなす。
• ホッホシュィルドコホモロジーとの同型を介して、$H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$ はバタリン＝ヴィルコフスキー代数構造を持つことが示された。
• 方向性準同型 $Or(F)$ は、ホモトピー同値 $f: F/\partial_{\text{in}} \to \vee_{-\chi(F)} S^1$ の選択に依存せず、場理論構成の整合性を保証する。
• ホモトピー同値の変更に伴い、$H_{-d\chi(F)}(\text{map}_*(F/\partial_{\text{in}}, X); \mathbb{F})$ 内の生成子 $w_f$ は行列式の $d$ 乗に比例して変化するが、場理論構造はこれを保つ。
• $H_*(\mathcal{L}X; \mathbb{F})$ は、$\text{det}H_1(F, \partial_{\text{in}}; \mathbb{Z})^{\otimes d} \otimes H_*(BDiff^+(F, \partial))$ のテンソル積の代数として、$d$ 次元のコンフォーマル場理論構造を確認する。
• 主な結果は、$H_*(G; \mathbb{F})$ が有限次元である任意の連結位相群にまで拡張可能であり、元のコンパクトリー群に対する結果を一般化する。