[論文レビュー] Sublinear Communication Protocols for Multi-Party Pointer Jumping and a Related Lower Bound

Joshua Brody, Amit Chakrabarti|ArXiv.org|Feb 20, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、数え上げの額に書かれた（NOF）モデルにおけるk人参加者のポインタジャンプ問題に対する、非線形通信プロトコルを提示する。k ≥ 3の場合、決定的通信複雑度がo(n)であることを示し、従来のΩ(n)の下界予想に反する。さらに、すべてのプレイヤーが直前の段階の構成にのみ依存する「収縮型プロトコル」に対して、n − O(log n)の強い下界を、情報理論的でない新しい証明技法を用いて確立する。

ABSTRACT

We study the one-way number-on-the-forehead (NOF) communication complexity of the $k$-layer pointer jumping problem with $n$ vertices per layer. This classic problem, which has connections to many aspects of complexity theory, has seen a recent burst of research activity, seemingly preparing the ground for an $Ω(n)$ lower bound, for constant $k$. Our first result is a surprising sublinear -- i.e., $o(n)$ -- upper bound for the problem that holds for $k \ge 3$, dashing hopes for such a lower bound. A closer look at the protocol achieving the upper bound shows that all but one of the players involved are collapsing, i.e., their messages depend only on the composition of the layers ahead of them. We consider protocols for the pointer jumping problem where all players are collapsing. Our second result shows that a strong $n - O(\log n)$ lower bound does hold in this case. Our third result is another upper bound showing that nontrivial protocols for (a non-Boolean version of) pointer jumping are possible even when all players are collapsing. Our lower bound result uses a novel proof technique, different from those of earlier lower bounds that had an information-theoretic flavor. We hope this is useful in further study of the problem.

研究の動機と目的

• NOFモデルにおけるk人参加者のポインタジャンプ問題がΩ(n)の通信複雑度を要することを示す長年の予想を解消すること。
• k ≥ 3のプレイヤーに対して、ブール型ポインタジャンプ問題の非線形プロトコルが存在するかを調査すること。
• すべてのプレイヤーのメッセージが直前の段階の構成にのみ依存する「収縮型プロトコル」の能力と限界を分析すること。
• 収縮型プロトコルに対して強い下界を確立することで、NOFモデルにおける通信複雑度の理解を深めること。

提案手法

• 対数的反復対数関数を用いた階層的バケツ化スキームを用いて、k人参加者のポインタジャンプ問題に対する非線形プロトコルを設計する。
• 各プレイヤーが2つのバケツ化スキームを用いる段階的通信戦略を採用する：1つは関連するバケツを特定し、もう1つはその中での要素を符号化する。
• 従来の情報理論的手法とは異なる、新しい下界証明技法を導入する。
• すべてのプレイヤー（1人を除く）のメッセージが直前の段階の構成にのみ依存する収縮型プロトコルの構造を分析する。
• 非ブール型ポインタジャンプにプロトコルを適用し、収縮制約下でも非自明な通信効率を示す。
• 反復対数関数に従って減少するサイズの再帰的バケツ化を用い、最終出力を非線形コストで回復可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 3のNOFモデルにおいて、k人参加者のブール型ポインタジャンプ問題に対して非線形通信プロトコルが存在可能か？
• RQ2 ポインタジャンプ問題に対して非線形プロトコルが存在することは、この問題に対するΩ(n)の下界予想を否定するか？
• RQ3 すべてのプレイヤーが収縮型プロトコルに制限された場合、ポインタジャンプの通信複雑度はいかほどか？
• RQ4 すべてのプレイヤーが収縮型である場合でも、非ブール型ポインタジャンプ問題に対して非自明なプロトコルが存在可能か？
• RQ5 下界結果で用いられた新しい証明技法は、NOFモデルにおける下界証明の新たな道筋を提供するか？

主な発見

• k人参加者のブール型ポインタジャンプ問題に対して、通信コストO(n log^(k-1) n)の非線形プロトコルが存在し、k ≥ 3のときC(mpj_k) = o(n)であることを証明する。
• 反復対数関数の精度を用いた階層的バケツ化により、最終出力を段階的構成を通じて回復可能であることを保証することで、非線形コストを達成する。
• すべてのプレイヤー（1人を除く）のメッセージが直前の段階の構成にのみ依存する収縮型プロトコルに対して、n − O(log n)の強い下界が成立し、このようなプロトコルが非線形コストを達成できないことを示す。
• 非ブール型ポインタジャンプは、収縮制約下でも非自明なプロトコルを備えており、通信コストはO(n log^(k-1) n)である。
• 本稿は、情報理論的手法を避ける新しい下界証明技法を導入し、NOF複雑度分野における今後の研究の新たな方向性を提供する。
• C(mpj_k) = Ω(n)という予想が、定数kに対して誤りであることを結果が裏付ける。非線形プロトコルが可能であることを示し、従来の問題の複雑度に関する仮定を揺るがす。