[論文レビュー] Sublinear data structures for short Fréchet queries

Anne Driemel, Ioannis Psarros+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Data Management and Algorithms参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、倍加空間における多角形曲線に対する短いクエリ曲線（k ≪ m）の近似離間距離クエリのための非線形データ構造を提示する。特に、空間計算量が O((k log(ε⁻¹)ε⁻ᵈ)ᵏ) で、クエリ時間O(k²)の決定的距離オラクル、および入力曲線の複雑さに依存しない指数的改善を達成する近似最近傍（ANN）データ構造を提案する。両者とも、定数dのユークリッド空間Rᵈにおいて(1+ε)-近似を達成する。

ABSTRACT

We study metric data structures for curves in doubling spaces, such as trajectories of moving objects in Euclidean $\mathbb{R}^d$, where the distance between two curves is measured using the discrete Fréchet distance. We design data structures in an \emph{asymmetric} setting where the input is a curve (or a set of $n$ curves) each of complexity $m$ and the queries are with curves of complexity $k\ll m$. We show that there exist approximate data structures that are independent of the input size $N = d \cdot n \cdot m$ and we study how to maintain them dynamically if the input is given in the stream. Concretely, we study two types of data structures: (i) distance oracles, where the task is to store a compressed version of the input curve, which can be used to answer queries for the distance of a query curve to the input curve, and (ii) nearest-neighbor data structures, where the task is to preprocess a set of input curves to answer queries for the input curve closest to the query curve. In both cases we are interested in approximation. For curves embedded in Euclidean $\mathbb{R}^d$ with constant $d$, our distance oracle uses space in $\mathcal{O}((k \log(ε^{-1}) ε^{-d})^k)$ ($ε$ is the precision parameter). The oracle performs $(1+ε)$-approximate queries in time in $\mathcal{O}(k^2)$ and is deterministic. We show how to maintain this distance oracle in the stream using polylogarithmic additional memory. In the stream, we can dynamically answer distance queries to the portion of the stream seen so far in $\mathcal{O}(k^4 \log^2 m)$ time. We apply our techniques to the second problem, approximate near neighbor (ANN) data structures, and achieve an exponential improvement in the dependency on the complexity of the input curves compared to the state of the art.

研究の動機と目的

• クエリ曲線が入力曲線に比べて著しく短い（k ≪ m）場合に、近似離間距離クエリのための効率的なデータ構造を設計すること。
• 特に、入力サイズN = d·n·mに依存しない非線形空間計算量を達成すること、特に定数次元dのユークリッド空間において。
• 入力曲線の動的かつストリーミング処理を可能にし、リアルタイムの距離クエリを維持するための小さな正確なスケッチを保持すること。
• 離間距離における近似最近傍（ANN）探索の現状を改善し、入力曲線の複雑さに依存する依存関係を低減すること。
• ストリーミング用Fréchet距離近似のための合成可能なコアセットフレームワーク（マージ＆リダクション）を提供すること。

提案手法

• 階層的ネットツリーとεネットに基づく圧縮を用いて、入力曲線の圧縮表現を保存する決定的距離オラクルを設計する。
• ストリーミングモデルで合成可能なコアセットを維持するために、マージ＆リダクションフレームワークを適用する。これにより、多項式対数のメモリオーヘッドで動的更新が可能になる。
• εrカバーイングボール内の点を効率的にアクセスできる弱い明示的モデルを用いることで、前処理時間とクエリ時間の両方を削減する。
• クエリ曲線をk個のセグメントに分割し、それぞれをネット内のボールでカバーし、互換性のあるセル列をインデックス化する。
• ANN用に、各セルごとにクエリ代表点のハッシュテーブルを用いた確率的データ構造を構築する。これにより、倍加性質とネット分解を活用する。
• 決定的ネット構築と有界独立性を用いることで、ANN構造を低コストで決定的化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 短いクエリに対して、入力曲線の複雑さに依存しない空間で(1+ε)-近似を達成する離間距離用データ構造を設計できるか？
• RQ2 多項式対数のメモリオーヘッドで、ストリーミング環境においてそのようなデータ構造を動的に維持できるか？
• RQ3 離間距離における近似最近傍探索において、入力曲線の複雑さに依存する依存関係を指数的に改善できるか？
• RQ4 倍加性質と合成可能なコアセットを活用して、Fréchet距離のための効率的かつストリーミングフレンドリーなデータ構造を構築できるか？
• RQ5 非対称設定（k ≪ m）において、近似精度、クエリ時間、空間使用量のトレードオフは何か？

主な発見

• 距離オラクルは、空間計算量が O((k log(ε⁻¹)ε⁻ᵈ)ᵏ) であり、O(k²)時間で(1+ε)-近似クエリをサポートし、決定的である。
• ストリーミング距離オラクルは、多項式対数の追加メモリでスケッチを維持し、ストリームに現れたデータに対してO(k⁴ log²m)時間で(1+ε)-近似クエリをサポートする。
• ANNデータ構造は、n·O((k d³ᐟ² ε⁻¹)ᵈᵏ)の空間計算量に加え、入力ストレージにO(dnm)を要し、クエリ時間はO(dk)である。
• ANN構造は、入力曲線の複雑さに依存する指数的依存関係をO(mᵏ)からO((k d³ᐟ² ε⁻¹)ᵈᵏ)に改善し、指数的改善を達成する。
• 確率的ANN構造は、わずかな空間と前処理時間の増加で決定的化でき、同じクエリ時間と近似保証を維持する。
• 適切なネットおよび分割パラメータのもとで、確率的証明により、クエリが真の近傍から分離される確率が1/10以下であることが示された。