[论文解读] Successive Quadratic Upper-Bounding for Discrete Mean-Risk Minimization and Network Interdiction

Alper Atamtürk, Carlos Deck+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2017

Infrastructure Resilience and Vulnerability Analysis被引用 4

一句话总结

本文提出一种连续二次上界法，用于求解具有锥二次目标的离散均值-风险最小化问题，通过重构问题实现基于二次优化的快速热启动。在随机网络破坏问题中的应用表明，该方法在100倍于精确分支定界法的速度下，可获得距离最优解1–2%以内的解。

ABSTRACT

The advances in conic optimization have led to its increased utilization for modeling data uncertainty. In particular, conic mean-risk optimization gained prominence in probabilistic and robust optimization. Whereas the corresponding conic models are solved efficiently over convex sets, their discrete counterparts are intractable. In this paper, we give a highly effective successive quadratic upper-bounding procedure for discrete mean-risk minimization problems. The procedure is based on a reformulation of the mean-risk problem through the perspective of its convex quadratic term. Computational experiments conducted on the network interdiction problem with stochastic capacities show that the proposed approach yields solutions within 1-2% of optimality in a small fraction of the time required by exact search algorithms. We demonstrate the value of the proposed approach for constructing efficient frontiers of flow-at-risk vs. interdiction cost for varying confidence levels.

研究动机与目标

• 解决具有锥二次目标的离散均值-风险最小化问题的计算不可行性问题。
• 开发一种快速且支持热启动的启发式方法，避免直接求解昂贵的锥优化子问题。
• 在具有不确定容量的随机网络破坏问题中展示方法的有效性。
• 在不同置信水平下构建高效的流量在险值与破坏成本权衡前沿。
• 提供一种可推广的框架，适用于任意0-1混合整数规划问题，且目标函数具有均值-风险形式。

提出的方法

• 通过利用其二次项的视角松弛，重构锥二次均值-风险问题。
• 在风险参数上嵌入二分搜索，以迭代收紧上界。
• 在每次二分搜索步骤中求解一系列离散二次优化子问题，从而实现快速热启动。
• 使用单纯形法求解二次和线性子问题，尤其适用于生成树或拟阵等结构化约束。
• 将该方法应用于具有随机弧容量的网络破坏问题，通过VaR和鲁棒边界建模风险。
• 利用二次项的子模性，在连续逼近过程中推导出紧致的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 连续二次上界过程是否能显著减少离散均值-风险问题的求解时间，同时不牺牲解的质量？
• RQ2 该方法在近似求解具有不确定容量的随机网络破坏问题的最优解方面效果如何？
• RQ3 与直接求解锥优化相比，二次优化中的热启动能力在性能提升方面有多大作用？
• RQ4 该方法在大规模网络实例上的可扩展性如何，尤其当问题规模超过精确算法可解范围时？
• RQ5 该方法是否可推广至其他具有锥二次目标的0-1混合整数规划问题？

主要发现

• 所提方法在网络破坏实例中找到的解距离最优解仅1–2%，且求解时间仅为精确分支定界算法所需时间的一小部分。
• 在20×20网格网络中，该方法相对于凸松弛的平均间隙为2.8%，平均求解时间为1.36秒。
• 在更大的100×100网络中，该方法平均经过10.2次迭代收敛，相对于凸松弛的整数规划间隙为31.08%。
• 与使用割平面的CPLEX相比，该方法在速度上最高提升100倍，尤其在相关实例中，CPLEX求解100×100网格需超过3,000秒。
• 该方法使在多个置信水平下高效构建流量在险值与成本权衡前沿成为可能，展示了其在风险规避决策中的实际应用价值。
• 该方法在不同问题结构下表现稳健，包括未相关和相关随机容量，并能有效扩展至大规模实例。