[論文レビュー] Succinct quantum proofs for properties of finite groups

John Watrous|ArXiv.org|Sep 8, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、量子証明（QMA）がブラックボックス有限群において、古典的証明（MA）が失敗するグループ非属性やその他の群の性質を、簡潔に検証できることを示している。群のオракルに対して、Group Non-Membership が QMA に属することを証明するとともに、あるオラクルにおいては MA に属さないことを示し、そのオラクルに関して BQP が MA に含まれないことを確立した。

ABSTRACT

In this paper we consider a quantum computational variant of nondeterminism based on the notion of a quantum proof, which is a quantum state that plays a role similar to a certificate in an NP-type proof. Specifically, we consider quantum proofs for properties of black-box groups, which are finite groups whose elements are encoded as strings of a given length and whose group operations are performed by a group oracle. We prove that for an arbitrary group oracle there exist succinct (polynomial-length) quantum proofs for the Group Non-Membership problem that can be checked with small error in polynomial time on a quantum computer. Classically this is impossible--it is proved that there exists a group oracle relative to which this problem does not have succinct proofs that can be checked classically with bounded error in polynomial time (i.e., the problem is not in MA relative to the group oracle constructed). By considering a certain subproblem of the Group Non-Membership problem we obtain a simple proof that there exists an oracle relative to which BQP is not contained in MA. Finally, we show that quantum proofs for non-membership and classical proofs for various other group properties can be combined to yield succinct quantum proofs for other group properties not having succinct proofs in the classical setting, such as verifying that a number divides the order of a group and verifying that a group is not a simple group.

研究の動機と目的

• ブラックボックス有限群の文脈における量子証明（QMA）の力を調査すること。
• 量子証明が、古典的証明よりも効率的に群非属性問題を解けるかどうかを特定すること。
• ブラックボックス群モデルにおける量子証明系と古典的証明系の間の分離を確立すること。
• 量子証明と古典的証明を組み合わせ、複雑な群論的性質のための簡潔な量子証明を構築すること。
• これらの結果が、オラクル設定における BQP と MA 間の関係に与える影響を探索すること。

提案手法

• 群の元によって生成される部分群への非属性を検証するために、量子証明（量子証明書）を用いる。
• 誤差が有界な多項式時間で検証可能な量子検証手順を採用する。
• Group Non-Membership がそのオラクルに関して MA に属さないことを示すために、特定の群オラクルを構築する。
• 部分群の性質のための古典的証明書と非属性のための量子証明を組み合わせ、複合問題の証明を構築する。
• 到達可能性定理と群論的構成を適用して、位数の因数や群の単純性などの性質を検証する。
• 特定の群の性質（例：正規性、p-部分群の塔）が古典的証明書を備えることを利用し、非属性の量子証明と組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子証明は、ブラックボックス群における群非属性の検証を簡潔に行えるか？
• RQ2 Group Non-Membership が MA に属さないが QMA に属するようなオラクルは存在するか？
• RQ3 量子証明を古典的証明書と組み合わせることで、複雑な群の性質のための簡潔な証明が得られるか？
• RQ4 群の性質に対する簡潔な量子証明の存在は、BQP と MA の間の分離を示唆するか？
• RQ5 群論的問題の文脈において、QMA と PP や co-NP などの他の複雑度クラスとの関係は何か？

主な発見

• 任意の群オラクルに対して Group Non-Membership は QMA に属する。これは、有界誤差で多項式時間で検証可能な多項式長の量子証明が存在することを意味する。
• ある群オラクルに関して Group Non-Membership は MA に属さないことが示され、ブラックボックス群モデルにおける QMA と MA の間の分離が実証された。
• この分離により、そのオラクルに関して BQP が MA に含まれないことが示され、BQP と MA の相対的分離が確立された。
• あるオラクルに関して MA に属さないが、群の位数を割る数を検証する問題など、簡潔な量子証明が存在することが示された。
• 非属性のための量子証明を、部分群、単純性、共通部分、中心化群、最大正規部分群などの性質のための古典的証明書と組み合わせることで、複合的性質の簡潔な量子証明が得られる。
• QMA は PP に含まれており、本論文は QMA が PP によって上界付けられると示唆しているが、より鋭い境界は未解決のままである。