[論文レビュー] Super-rigidity for CR embeddings of real hypersurfaces into hyperquadrics

M. S. Baouendi, Peter Ebenfelt+1 more|ArXiv.org|Nov 29, 2007

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、同じ符号性を持つ超球面への実解析的でLevi非退化な超曲面の正則埋め込みについて、超剛性を確立する。$N_0 - n < l$ である限り、ある低次元の超球面に含まれないような任意の埋め込みは、自己同型の下で標準的線形埋め込みに同値である。これは、古典的な剛性結果を非一様な源に一般化するものである。

ABSTRACT

Let $Q^N_l\subset \bC\bP^{N+1}$ denote the standard real, nondegenerate hyperquadric of signature $l$ and $M\subset \bC^{n+1}$ a real, Levi nondegenerate hypersurface of the same signature $l$. We shall assume that there is a holomorphic mapping $H_0\colon U o \bC\bP^{N_0+1}$, where $U$ is some neighborhood of $M$ in $\bC^{n+1}$, such that $H_0(M)\subset Q^{N_0}_l$ but $H(U) ot\subset Q^{N_0}_l$. We show that if $N_0-n

研究の動機と目的

• 球面および超球面間のCR写像に関する古典的剛性定理を、一般のLevi非退化超曲面へ拡張すること。
• 実解析的超曲面の超球面への正則埋め込みが、いつ標準的線形埋め込みに同値になるかを調査すること。
• このような埋め込みが、ターゲット超球面の自己同型の下で一意に定まるための条件を確立すること。
• 強い擬凸性の状況から、符号性$l$を持つより広い範囲の擬凹超球面へ結果を一般化すること。

提案手法

• 源超曲面$M$のLevi非退化性の点近傍における局所幾何を分析するため、擬ヘルミート幾何とLevi形式の理論を用いる。
• Lewyの拡張定理を適用してCR写像の研究を正則写像に還元し、複素解析的手法の適用を可能にする。
• 横断性の議論と$(k,s)$-非退化性の概念を用いて、写像がターゲット超球面に横断的である点での挙動を分析する。
• 射影幾何学を用いて、写像の像を次元$N_0+1$の複素平面$P$に埋め込み、$Q^N_l \cap P$が符号性$l$の超球面であることを示す。
• 自己同型群$\mathrm{Aut}(Q^N_l)$と$\mathrm{Aut}(Q^{N_0}_l)$を用いて、写像を標準的線形埋め込み形に共役化する。
• 先行研究[EHZ05]および[BH05]の結果に依拠し、写像が自己同型の下で標準的線形埋め込みに同値であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実解析的でLevi非退化な超曲面から超球面への正則写像が、いつかならずや標準的線形埋め込みに同値になるか。
• RQ2 符号性$l$に対して相対的に次元$N_0 - n$が小さいと、このような埋め込みの剛性にどのように影響するか。
• RQ3 剛性結果を球面から同じ符号性を持つより一般的なLevi非退化超曲面へ拡張できるか。
• RQ4 Levi形式の非退化性と符号性$l$が、このような埋め込みの一意性を決定する上で果たす役割は何か。
• RQ5 源が超球面ではなく、局所的にその同型写像をもつ場合、超剛性の性質は保たれるか。

主な発見

• $N_0 - n < l$ ならば、任意の正則写像$H: U \to \mathbb{C}\mathbb{P}^{N+1}$で$H(M) \subset Q^N_l$かつ$H(U) \not\subset Q^{N_0}_l$を満たすものは、$Q^{N_0}_l$および$Q^N_l$の自己同型の下で標準的線形埋め込み$L: \mathbb{C}\mathbb{P}^{N_0+1} \to \mathbb{C}\mathbb{P}^{N+1}$に同値である。
• 写像$H$は、自己同型を介した線形埋め込み$L$を介して因数分解可能であり、強い一意性を示唆する。
• 証明は、写像がターゲット超球面に横断的であることと、次元$N_0+1$の複素平面$P$が存在し、ある開集合$V \subset M$に対して$H(V) \subset Q^N_l \cap P$を満たすことに基づく。
• 交差$Q^N_l \cap P$は符号性$l$の非退化超球面であり、これにより[EHZ05]の剛性結果を適用し、標準埋め込みに同値であると結論づけられる。
• 源$M$が超球面でなくても、$Q^n_l$に局所的に正則同型写像をもつ場合、かつ$Q^n_{n/2}$に同値でない限り、この結果は成り立つ。
• 条件$N_0 - n < l$は鋭いものであり、既知の反例（例えばホイットニー写像）により、この境界を緩めると剛性が失われる。