[論文レビュー] Supports of simple modules in cyclotomic Cherednik categories O

Ivan Losev|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、群 $G(\ell,1,n)$ の巡回的 rational Cherednik 圏 $\mathcal{O}$ における単純加群の台を、組合せ的キリスチェイン構造を用いて計算する。新たな $\mathfrak{sl}_\infty$-キリスチェイン作用を $\ell$-多重分割に導入し、$q(\lambda)$ 不変量を符号化する。また、単純加群 $L_c(\lambda)$ の台が $W\Gamma_{p,q}$ であることを示し、$p(\lambda)$ と $q(\lambda)$ はそれぞれ $\hat{\mathfrak{sl}}_e$ と $\mathfrak{sl}_\infty$ キリスチェインにおける深さによって定まる。

ABSTRACT

The goal of this paper is to compute the supports of simple modules in the categories $\mathcal{O}$ for the rational Cherednik algebras associated to groups $G(\ell,1,n)$. For this we compute some combinatorial maps on the set of simples: wall-crossing bijections and a certain $\mathfrak{sl}_\infty$-crystal associated to a Heisenberg algebra action on a Fock space.

研究の動機と目的

• 群 $G(\ell,1,n)$ の巡回的 Cherednik 圏 $\mathcal{O}$ における単純加群の台を計算すること。
• 新たな $\mathfrak{sl}_\infty$-キリスチェイン構造を用いて、台 $W\Gamma_{p,q}$ の第二パラメータ $q(\lambda)$ の組合せ的公式を提供すること。
• $\ell$-多重分割の集合上で $\hat{\mathfrak{sl}}_e$ と $\mathfrak{sl}_\infty$ キリスチェイン構造の可換性を確立すること。
• 台の計算を、Koszul双対性と Gaitsgory の中心ファンクターによる幾何的カテゴライゼーションと関連付けること。

提案手法

• 集合 $\mathcal{P}_\ell$ の $\ell$-多重分割に、レベル1の $\mathfrak{sl}_\infty$-キリスチェインを導入し、生成作用素が分割に $e$ 個のボックスを加える。
• ウォールクロッシング双対写像を用いて、パrameter空間のアセプトティックなチャネルから、他のすべてのチャネルへキリスチェイン構造を移行する。
• $\hat{\mathfrak{sl}}_e$ と $\mathfrak{sl}_\infty$ キリスチェインの可換作用を活用し、$q(\lambda)$ の計算を $\hat{\mathfrak{sl}}_e$-キリスチェインの特異的要素に還元する。
• Fock空間表現の理論とレベルランク双対性を用いて、$\mathfrak{sl}_\infty$-キリスチェインをヘイゼンベルグ代数作用に結びつける。
• アフィンカテゴリー $\mathcal{O}^{\text{aff}}_{{\bf s},{\bf s}^\prime}$ の幾何的枠組みと Gaitsgory の中心ファンクターを用いて、ヘイゼンベルグ作用のカテゴライゼーションを実現する。
• アフィンカテゴリーの多項式切断を、[L4, RSVV] の構成にインspiredした方法で、有限型カテゴリー $\mathcal{O}_c(n)$ と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回的 Cherednik 圏 $\mathcal{O}$ における単純加群 $L_c(\lambda)$ の台は、$\ell$-多重分割 $\lambda$ とパrameter $c$ からどのように組合せ的に計算できるか？
• RQ2 $W\Gamma_{p,q}$ をパrameter化する不変量 $q(\lambda)$ の背後にある組合せ的構造は何か？
• RQ3 $\mathcal{P}_\ell$ 上の $\hat{\mathfrak{sl}}_e$ と $\mathfrak{sl}_\infty$ キリスチェイン構造はどのように相互作用し、$q(\lambda)$ の計算に利用できるか？
• RQ4 Fock空間上のヘイゼンベルグ代数作用は、幾何的カテゴリー $\mathcal{O}$ と Koszul双対性の観点から、カテゴライゼーション的に実現可能か？

主な発見

• 単純加群 $L_c(\lambda)$ の台は $W\Gamma_{p,q}$ であり、$p(\lambda)$ と $q(\lambda)$ はそれぞれ $\hat{\mathfrak{sl}}_e$ と $\mathfrak{sl}_\infty$ キリスチェインにおける深さによって定まる。
• $\mathfrak{sl}_\infty$-キリスチェインは、$\mathcal{P}_\ell$ 上に明示的に構成され、生成作用素が多重分割に $e$ 個のボックスを加えるレベル1キリスチェインとして定義される。
• $\mathfrak{sl}_\infty$-キリスチェインは $\hat{\mathfrak{sl}}_e$-キリスチェインと可換であり、$q(\lambda)$ の計算を $\hat{\mathfrak{sl}}_e$-キリスチェインの特異的要素に還元可能である。
• この構成により、$\mathfrak{sl}_\infty$-キリスチェインにおける $\lambda$ の深さとして $q(\lambda)$ の組合せ的公式が得られ、$\ell=1$ の既知のケースを一般化する。
• Fock空間上のヘイゼンベルグ代数作用は、幾何的アフィンカテゴリー $\mathcal{O}^{\text{aff}}_{{\bf s},{\bf s}^\prime}$ における Gaitsgory の中心ファンクターを用いてカテゴライゼーション的に実現される。
• カテゴリー $\mathcal{O}^{\text{aff}}_{{\bf s},{\bf s}^\prime}$ と $\mathcal{O}^{\text{aff}}_{{\bf s}^\prime,{\bf s}}$ 間の Koszul双対性は、$\hat{\mathfrak{sl}}_e$ と $\hat{\mathfrak{sl}}_\ell$ の作用を入れ替え、ヘイゼンベルグ作用を保存する。