[논문 리뷰] Symmetry-protected topological order in SU(N) Heisenberg magnets --quantum entanglement and non-local order parameters

K. Tanimoto, K. Totsuka|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 30.

Quantum many-body systems인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일차원 SU(N) 헤이젠베르크 스핀 체인에서 대칭에 의해 보호되는 위상적 순서(topological order)를 조사하며, 엔트로피 스펙트럼 분석을 통해 SU(4) 모델의 기본 상태가 SU(4) 대칭에 의해 보호되는 위상적 순서를 갖는다는 것을 보여준다. 또한 비국소적 스트링 순서 매개변수를 도입하여 검출 도구로 활용하고, SU(N) 대칭이 Z_N × Z_N로 감소하더라도 위상적 위상이 유지됨을 보이며, 엔트로피 스펙트럼의 디세너시 패턴이 위상적 불변량을 진단하는 데 핵심적인 역할을 한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate topological properties of the ground state of the SU(N) Heisenberg chain, which is argued to be relevant to the Mott-insulating phase of alkaline-earth cold fermions in a one-dimensional optical lattice. By calculating the entanglement spectrum, we show that the ground state is in one of the topological phases protected by SU(N) symmetry. We then discuss an alternative characterization of it with non-local string order parameters. We also consider how the reduction of the protecting symmetry affects the topological phase paying particular attention to the entanglement spectrum.

연구 동기 및 목표

• SU(4) 헤이젠베르크 체인의 기본 상태에서 위상적 순서를 양자 얽힘을 이용해 특성화하는 것, 특히 N=4의 경우.
• 엔트로피 스펙트럼과 SU(N) 대칭에 의해 보호되는 위상적 불변량 사이의 관계를 설정하는 것.
• 비국소적 스트링 순서 매개변수를 도입하고, SU(N) 시스템에서 SPT 순서를 탐지하기 위한 대안으로 검증하는 것.
• SU(N) 대칭이 Z_N × Z_N 부분군으로 감소할 때 위상적 순서의 안정성을 조사하는 것.
• 강한 상관관계를 가진 양자 스핀 체인에서 위상적 위상 진단에 있어 엔트로피 스펙트럼의 구조가 수행하는 역할을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 수치적 또는 해석적 방법을 사용하여 SU(4) 헤이젠베르크 체인 기본 상태의 엔트로피 스펙트럼을 계산하여 위상적 순서를 나타내는 디세너시 패턴을 탐지하는 것.
• 엔트로피 스펙트럼의 디세너시 구조를 이용하여 SU(N) 대칭에 의해 보호되는 비자명한 위상적 불변량 존재를 추론하는 것.
• 일반화된 슈윙거 보손 표현과 SU(N) 생성자 기반의 비국소적 스트링 순서 매개변수를 도입하여 SPT 순서를 탐지하는 것.
• SU(N) 대칭군 작용 하에서 스트링 순서 매개변수의 변환 성질과 기본 상태에서의 기대값을 분석하는 것.
• 해밀토니언에 V_N = g_N ∑_i [(X̂_P(i))^N + (X̂_P†(i))^N] 와 같은 편항을 추가하여 SU(N)에서 Z_N × Z_N로의 대칭 감소 효과를 연구하는 것.
• 감소된 대칭 하에서 엔트로피 수준의 디세너시 D_λ에 대한 제약 조건을 유도하며, (U_P U_Q)^D_λ = exp(i 2π n_top / N) D_λ 관계를 사용하여 N과 n_top 이 최대공약수 1이면 D_λ는 반드시 N의 배수여야 함을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SU(4) 헤이젠베르크 체인의 기본 상태는 엔트로피 스펙트럼에 의해 나타나는 SU(4) 대칭에 의해 보호되는 위상적 순서를 갖는가?
• RQ2 비국소적 스트링 순서 매개변수는 SU(N) 스핀 체인에서 SPT 위상을 식별하는 신뢰할 수 있는 순서 매개변수로 기능할 수 있는가?
• RQ3 SU(N) 헤이젠베르크 모델의 위상적 위상은 SU(N)에서 Z_N × Z_N로의 대칭 감소에 어떻게 반응하는가?
• RQ4 감소된 대칭은 엔트로피 스펙트럼의 디세너시 구조에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ5 전체 SU(N) 대칭이 파괴된 경우에도 위상적 불변량 n_top은 엔트로피 스펙트럼을 통해 탐지 가능한가?

주요 결과

• SU(4) 헤이젠베르크 체인 기본 상태의 엔트로피 스펙트럼은 SU(4) 대칭에 의해 보호되는 비자명한 위상적 위상과 일치하는 디세너시 패턴을 보인다.
• N=4일 때, 시스템은 n_top = 1, 2, 3으로 표기되는 세 가지 별개의 위상적 위상 상태를 지닌다. 클래스-1과 클래스-3 위상은 4중 디세너시(D_λ ≡ 0 mod 4)를 보이며, 클래스-2는 짝수 D_λ를 允허한다.
• Z_4 × Z_4 대칭 감소 하에서도 위상적 순서는 강건하게 유지되며, 엔트로피 스펙트럼에서 N중 디세너시 패턴이 유지됨으로써 이를 확인할 수 있다.
• 비국소적 스트링 순서 매개변수는 SPT 순서를 특성화하는 데 효과적이며, 엔트로피 스펙트럼과의 대안으로 기능한다.
• 엔트로피 수준의 디세너시 D_λ는 위상적 불변량 n_top과 대칭 감소에 의해 제약을 받으며, N과 n_top 이 최대공약수 1이면 D_λ는 반드시 N의 배수여야 한다.
• Z_N × Z_N 대칭을 유지하는 편항들, 예를 들어 V_N는 부스러기 갭을 닫거나 위상적 순서를 파괴하지 않으며, 이러한 대칭 파괴 하에서도 위상적 위상의 안정성을 확인한다.