[論文レビュー] Syntactic Confluence Criteria for Positive/Negative-Conditional Term Rewriting Systems

Claus-Peter Wirth|ArXiv.org|Feb 20, 2009

Logic, programming, and type systems参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、コンストラクタ／非コンストラクタの分離、並列閉包性、浅層的およびレベルの結合性、準正規性を統合することにより、正/負の条件付き項書き換えシステムの新しい構文的結合性基準を提示する。既存の基準を強化し、厳密な正規性要件を準正規性へ緩和し、条件付き臨界対の精密分析および置換の正規化制限を用いることで、終了するかしないかにかかわらず結合性の検証が可能となる実用的手法を提供する。

ABSTRACT

We study the combination of the following already known ideas for showing confluence of unconditional or conditional term rewriting systems into practically more useful confluence criteria for conditional systems: Our syntactical separation into constructor and non-constructor symbols, Huet's introduction and Toyama's generalization of parallel closedness for non-noetherian unconditional systems, the use of shallow confluence for proving confluence of noetherian and non-noetherian conditional systems, the idea that certain kinds of limited confluence can be assumed for checking the fulfilledness or infeasibility of the conditions of conditional critical pairs, and the idea that (when termination is given) only prime superpositions have to be considered and certain normalization restrictions can be applied for the substitutions fulfilling the conditions of conditional critical pairs. Besides combining and improving already known methods, we present the following new ideas and results: We strengthen the criterion for overlay joinable noetherian systems, and, by using the expressiveness of our syntactical separation into constructor and non-constructor symbols, we are able to present criteria for level confluence that are not criteria for shallow confluence actually and also able to weaken the severe requirement of normality (stiffened with left-linearity) in the criteria for shallow confluence of noetherian and non-noetherian conditional systems to the easily satisfied requirement of quasi-normality. Finally, the whole paper may also give a practically useful overview of the syntactical means for showing confluence of conditional term rewriting systems.

研究の動機と目的

• 条件付き項書き換えシステムに対して実用的な結合性基準が不足していること、特に終了しないか複雑な場合にその問題を解決すること。
• 理論的結合性基準と実世界の応用に必要な基準のギャップを埋め、より自然なシステムのモデル化を可能にすること。
• Dershowitzら（1988）、Toyama（1988）、Bergstra＆Klop（1986）の既存の結合性定理を一般化・改善すること。
• 条件付き臨界対における条件の検証の複雑さを、正規化制限を導入し、主な上位互換に焦点を当てることで軽減すること。
• 終了するかしないかの両方のシステムにおける浅層的結合性基準において、きつい正規性条件を満たしやすい準正規性条件に置き換えること。

提案手法

• 応用の自然なモデル化を可能にするために、コンストラクタ記号と非コンストラクタ記号の構文的分離を導入する。
• HuetおよびToyamaの並列閉包性の概念を条件付きシステムに適用し、非終了ケースへ拡張する。
• 浅層的およびレベルの結合性を基盤的ツールとして用い、レベルの結合性により浅層的結合性に限定されない基準を可能にする。
• 条件の非可能または満たしのための有限な結合性を仮定することで、検証すべき置換の数を減らす。
• 条件付き臨界対の条件を満たす置換に正規化制限を課し、主な上位互換にのみ注目する。
• ω粗いレベル結合性および強い交換性補題を用いて、発散するピークの射影と閉包により結合性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構文的制約を精緻化することで、条件付き項書き換えシステムの結合性基準をより実用的かつ広く適用可能にすることができるか？
• RQ2 浅層的結合性基準におけるきつい正規性要件を、正しさを損なわずに弱める方法は何か？
• RQ3 構文的および構造的制限を用いることで、条件付き臨界対における条件の満たしの検証をどの程度簡略化できるか？
• RQ4 レベルの結合性基準は浅層的結合性とは独立して定式化可能か？また、それらにどのような利点があるか？
• RQ5 非終了する条件付きシステムにおいて、変換された関係の強い結合性を用いて、どのように結合性を証明できるか？

主な発見

• 本稿では、コンストラクタ／非コンストラクタの分離を組み込むことで、従来の結果を強化した、オーバーレイ結合可能な終了系のための新しい基準を提示する。
• 浅層的結合性とは等価でないレベルの結合性基準を導入し、より広範かつ柔軟な枠組みを提供する。
• 浅層的結合性基準における正規性要件が、満たしやすくもともとの結合性を保証する準正規性へ弱体化されている。
• 臨界対の条件を検証する際には、主な上位互換のみを考慮すれば十分であり、検証の複雑さが顕著に低減することが示された。
• 条件付き臨界対の条件を満たす置換に正規化制限を課すことは、正当かつ有効であることが示され、結合性検証の実用性が向上した。
• ω粗いレベル結合性および強い交換性の利用により、発散するピークを扱いやすい形に還元することで、非終了システムにおける結合性の証明が可能となった。