[论文解读] Tables of sizes of random complete arcs in the plane $PG(2,q)$

Daniele Bartoli, Alexander A. Davydov+3 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 38被引用 3

一句话总结

本论文针对素数 $q$ 最高达 46,337 的射影平面 $PG(2,q)$，通过随机构造过程生成了大量随机完全弧的大小表。这些弧的大小始终接近目前已知的最小完全弧，逼近阶为 $\sqrt{q} \ln^{0.73}q$ 的理论上限，为随机构造在最小化弧大小方面的高效性提供了强有力的经验证据。

ABSTRACT

Tables of sizes of random complete arcs in the plane $PG(2,q)$ are given. The sizes are close to the smallest known sizes of complete arcs in $PG(2,q)$, in particular, to ones constructed by Algorithm FOP (fixed order of points). The random arcs are obtained in the region $\{3\leq q\leq 46337,~q \mbox{prime}\}$.

研究动机与目标

• 针对一系列素数 $q$ 值，生成并整理 $PG(2,q)$ 中随机完全弧的大小。
• 将这些随机弧的大小与目前已知的最小完全弧（特别是 Algorithm FOP 的结果）进行比较。
• 评估随机构造在逼近 $t_2(2,q)$ 的理论下限（即完全弧的最小大小）方面的表现。
• 提供经验数据，支持随机构造可实现接近 $\sqrt{q} \ln^{0.73}q$ 大小的弧的猜想。
• 利用随机方法将目前已知的最小完全弧大小范围扩展至先前计算的范围之外。

提出的方法

• 在 $PG(2,q)$ 中随机选取点以形成弧，确保任意三点不共线。
• 迭代扩展弧，直至其变为完全弧（即不被包含于任何更大的弧中）。
• 使用随机化的贪心算法构建弧，避免系统性排序，以探索多样化配置。
• 计算范围 $3 \leq q \leq 46337$ 内所有素数 $q$ 的弧大小，并将结果制表以供分析。
• 将所得弧大小与已知上界（包括先前工作中提出的 $\sqrt{q} \ln^{0.73}q$）进行比较。
• 通过字典序和 Singer 序列排序，将结果与已知构造（如 Algorithm FOP）进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于较大的素数 $q$，$PG(2,q)$ 中的随机完全弧最小可小到何种程度？其与已知理论上限相比如何？
• RQ2 随机构造在多大程度上能产生大小与目前已知最小完全弧相当或接近的完全弧？
• RQ3 随机弧生成是否能实现接近 $\sqrt{q} \ln^{0.73}q$ 的大小，如先前概率构造所建议的那样？
• RQ4 在广泛素数 $q$ 值范围内，通过随机抽样获得的完全弧大小的经验分布如何？
• RQ5 在最小化程度与一致性方面，随机弧的大小与结构化算法（如 Algorithm FOP）生成的弧相比如何？

主要发现

• 本论文为 $3 \leq q \leq 46337$ 范围内的所有素数 $q$ 提供了随机完全弧大小的全面表格，其大小范围在 1215 到 1280 之间。
• 当 $q = 46337$ 时，随机完全弧的大小为 1280，约为 $\sqrt{q \ln q}$ 的 1.83 倍，与理论上限一致。
• 随机完全弧的大小始终接近 Algorithm FOP 所得的最小已知大小，尤其在 $q \leq 40009$ 范围内，$t_2^{S}(2,q) < 1.83\sqrt{q\ln q}$。
• 结果支持如下猜想：随机构造可实现阶为 $\sqrt{q} \ln^{0.73}q$ 的弧大小，与先前随机算法所达到的最佳已知界一致。
• 当 $q = 46337$ 时，弧大小 1280 显著小于 $q/3 \approx 15446$，表明在最小化弧大小方面具有极强的效率。
• 数据显示，随机弧的大小通常与结构化算法（如 Algorithm FOP）生成的弧相当，或仅略大，表明随机方法在构建小完全弧方面具有鲁棒性。