[論文レビュー] The Arithmetic of Calabi--Yau Manifolds and Mirror Symmetry

Shabnam Nargis Kadir|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、合同ゼータ関数を用いて有理点の個数を計算することで、有限体上のカーラビ–ヤウ多様体における鏡像対称性を調査し、ゼータ関数が単項式および非単項式の複素構造の変形の違いを符号化していることを明らかにした。研究では関数方程式とモジュラー性の関係を確立し、特にφ²=1のような特別な点においてゼータ関数がスiegelモジュラー形式のL関数と関連していることを示した。

ABSTRACT

We study mirror symmetric pairs of Calabi--Yau manifolds over finite fields. In particular we compute the number of rational points of the manifolds as a function of the complex structure parameters. The data of the number of rational points of a Calabi--Yau $X/\mathbb{F}_q$ can be encoded in a generating function known as the congruent zeta function. The Weil Conjectures (proved in the 1970s) show that for smooth varieties, these functions take a very interesting form in terms of the Betti numbers of the variety. This has interesting implications for mirror symmetry, as mirror symmetry exchanges the odd and even Betti numbers. Here the zeta functions for a one-parameter family of K3 surfaces, $\mathbb{P}_3[4]$, and a two-parameter family of octics in weighted projective space, $\mathbb{P}_4{}^{(1, 1, 2, 2, 2)} [8]$, are computed. The form of the zeta function at points in the moduli space of complex structures where the manifold is singular (where the Weil conjectures apart from rationality are not applicable), is investigated. The zeta function appears to be sensitive to monomial and non-monomial deformations of complex structure (or equivalently on the mirror side, toric and non-toric divisors). Various conjectures about the form of the zeta function for mirror symmetric pairs are made in light of the results of this calculation. Connections with $L$-functions associated to both elliptic and Siegel modular forms are suggested.

研究の動機と目的

• 有限体上の鏡像対称なカーラビ–ヤウ多様体の算術をゼータ関数を用いて調査すること。
• 重み付き射影空間内の1パラメータK3族および2パラメータの八次3次元多様体における有理点の個数を計算すること。
• ワイエル予想が完全に適用されない特異な複素構造の点におけるゼータ関数の振る舞いを分析すること。
• ゼータ関数とモジュラー形式のL関数との間の関係、特にスiegelモジュラー形式との関係を調査すること。
• 計算データに基づいて鏡像対のゼータ関数の形についての予想を提示すること。

提案手法

• ガウス和およびp進ガンマ関数を用いて、有限体F_q上での有理点の個数を計算する。
• ドーカーの方法を適用し、多様体の周期のピカード–フクス微分方程式を導出する。
• バティレーヴのトーリック超曲面構成法を用いて、重み付き射影空間内のカーラビ–ヤウ多様体を定義する。
• 点数から合同ゼータ関数を構成し、その関数方程式およびモジュラー性を分析する。
• トーリック図と三角形分割を用いて特異点を解消し、単項式変形類を分類する。
• 特にφ²=1およびψ=0の点において、鏡像対間のゼータ関数を比較し、モジュラー性のパターンを検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワイエル予想が完全に適用されない特異な複素構造の点におけるカーラビ–ヤウ多様体のゼータ関数は、どのように振る舞うか？
• RQ2 鏡像対における単項式および非単項式の複素構造の変形の間で、ゼータ関数の構造はどのように異なるか？
• RQ3 鏡像対称なカーラビ–ヤウ多様体のゼータ関数は、スiegelモジュラー形式のL関数と関連づけられるか？
• RQ4 モジュライ空間におけるφ²=1の点は、モジュラーL関数に対応するか？ もしそうならば、その関数方程式は何か？
• RQ5 2パラメータの八次3次元多様体のゼータ関数は、トーリックでない除数の幾何的性質をどのように反映しているか？

主な発見

• K3族のゼータ関数は関数方程式を示し、重み2のモジュラー形式のL関数と一致する。
• φ²=1の点において、鏡像八次3次元多様体のゼータ関数はモジュラー性を示し、2変数スiegelモジュラー形式と関連している可能性を示唆する。
• ψ=0において、八次3次元多様体のゼータ関数は楕円曲線に関連するL関数の積に簡約され、K3ファイブレーション構造を示唆する。
• ゼータ関数は単項式対非単項式変形に敏感であり、データテーブルで明確に異なる関数形が観察された。
• p=3,5,7において、八次3次元多様体のゼータ関数の係数は単項式クラスにおいて一貫したパターンを示し、予想された関数方程式を支持する。
• F_{17^4}上での点数が得られない限り、(0,4,0,3,3)×(4,0,1,1,0)の寄与は一意に特定できず、この方法の計算的限界を示している。