[論文レビュー] The Art Gallery Problem is $\exists \mathbb{R}$-complete

Mikkel Abrahamsen, Anna Adamaszek+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 27被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、アートギャラリー問題が ∃ℝ-complete であることを証明しており、これは実数上での多項方程式系の解の存在を判定することと同程度に難しいことを意味する。著者らは、多項式不等式を符号化する幾何的ガジェットを用いて、存在論的実数理論（ETR）をアートギャラリー問題に還元し、問題がNPを超えており、正確な解を得るには実代数的計算が必要であることを示している。

ABSTRACT

We prove that the art gallery problem is equivalent under polynomial time reductions to deciding whether a system of polynomial equations over the real numbers has a solution. The art gallery problem is a classical problem in computational geometry. Given a simple polygon $P$ and an integer $k$, the goal is to decide if there exists a set $G$ of $k$ guards within $P$ such that every point $p\in P$ is seen by at least one guard $g\in G$. Each guard corresponds to a point in the polygon $P$, and we say that a guard $g$ sees a point $p$ if the line segment $pg$ is contained in $P$. The art gallery problem has stimulated extensive research in geometry and in algorithms. However, the complexity status of the art gallery problem has not been resolved. It has long been known that the problem is $ ext{NP}$-hard, but no one has been able to show that it lies in $ ext{NP}$. Recently, the computational geometry community became more aware of the complexity class $\exists \mathbb{R}$. The class $\exists \mathbb{R}$ consists of problems that can be reduced in polynomial time to the problem of deciding whether a system of polynomial equations with integer coefficients and any number of real variables has a solution. It can be easily seen that $ ext{NP}\subseteq \exists \mathbb{R}$. We prove that the art gallery problem is $\exists \mathbb{R}$-complete, implying that (1) any system of polynomial equations over the real numbers can be encoded as an instance of the art gallery problem, and (2) the art gallery problem is not in the complexity class $ ext{NP}$ unless $ ext{NP}=\exists \mathbb{R}$. As a corollary of our construction, we prove that for any real algebraic number $α$ there is an instance of the art gallery problem where one of the coordinates of the guards equals $α$ in any guard set of minimum cardinality. That rules out many geometric approaches to the problem.

研究の動機と目的

• アートギャラリー問題の計算複雑性に関する長年の未解決問題を解明すること。
• アートギャラリー問題が、実数上の存在論的理論（ETR）に還元可能な問題を表す複雑性クラス ∃ℝ に完全であることを確立すること。
• NP に属するとは限らないこと、すなわち NP = ∃ℝ でない限り、問題は NP クラスを越えており、NP よりも難しいことを示すこと。
• 最適なガード配置の座標が任意の次数の多項方程式の根である可能性があることを示し、有限候補に基づく幾何的アプローチを排除すること。
• 任意のコンパクトな半代数的集合を [0,1]² に実現する多角形を構築すること。

提案手法

• 中間還元のターゲットとして、新たな ∃ℝ-complete 問題 ETR-INV を導入する。
• ガードセグメント、ナック、アンブラー、および逆数、加算、方向性を表すガジェットを設計し、多項式不等式と変数の依存関係を符号化する。
• スラブを用いたコロシアムシステムを用いて視界制約をシミュレートし、ガードセグメントの位置を多角形全体にコピー可能にする。
• ボトムウォールと垂直なコロシアムを備えた主要な多角形を構築し、幾何的制約によってガジェットを埋め込み、視界関係を強制する。
• 可視性遮断と重要なセグメント・ガード位置の戦略的配置を用いて、≥-加算および≤-加算ガジェットを実装する。
• ピカソ・ガジェットを用いて、任意の半代数的集合を可能なガード配置として埋め込み、この構成の表現力の高さを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アートギャラリー問題は ∃ℝ-complete であり、もしそうならば、その計算複雑性にどのような意味があるのか？
• RQ2 実数上での任意の多項方程式系を、アートギャラリー問題のインスタンスとして符号化できるか？
• RQ3 最適なガード座標が任意の次数の多項方程式の根であるような、アートギャラリー問題のインスタンスは存在するか？
• RQ4 多角形におけるすべての最小ガード配置の集合は、[0,1]² における任意のコンパクトな半代数的集合を実現できるか？
• RQ5 3本の辺の延長線が1点で交わるような退化（例：3本の延長線が1点で交差）を除去した場合でも、問題は still ∃ℝ-complete であるか？

主な発見

• アートギャラリー問題は ∃ℝ-complete であり、これは実数上での多項方程式系の解の存在を判定することと同程度に難しいことを意味する。
• NP に属するとは限らない。NP = ∃ℝ でない限り、標準的な複雑性仮定のもとで、これは NP 問題よりも厳密に難しいことを示している。
• 任意の実代数的数 α に対して、α がすべての最適ガード集合に座標として現れるようなアートギャラリーインスタンスが存在する。
• 多角形におけるすべての最小ガード配置の集合は、任意のコンパクトな半代数的集合 S ⊆ [0,1]² として実現可能であり、p ∈ S であることと、p が最小ガード集合の一部であることが同値となる多角形を構築できる。
• 3本の辺の延長線が1点で交わるような退化を除去しても、構成は still ∃ℝ-complete のままである。
• ガードが多角形の境界上に制限されても、問題は still ∃ℝ-complete であり、幾何的制約に対しても複雑性が安定していることが示された。