[論文レビュー] The calculus structure of the Hochschild homology/cohomology of preprojective algebras of Dynkin quivers

Ching-Hwa Eu|ArXiv.org|Jun 16, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特性0の体上のディンキン・クイバーの前射影的代数のホッフチルド・ホモロジーおよびコホモロジーに、ゲルステンハーバー括弧、コネス微分、リー微分を含む完全なカルキュラス構造を計算する。バタリン＝ヴィルコフスキー構造を用い、カルタンの恒等式によりカルキュラスを導出し、バタリン＝ヴィルコフスキー代数としてのホッフチルド・コホモロジー環の完全な記述を提供するとともに、ホモロジーおよびコホモロジーの基底への自己同型の作用を完全に特定する。

ABSTRACT

The Hochschild homology/cohomology an associative algebra, together with the Connes differential, the contraction map and the Lie derivative, forms the structure of calculus. In this paper we compute explicitely the calculus structure of preprojective algebras of Dynkin quivers over a field of characteristic zero. This also completes the work in math.AG/0502301, where the Batalin-Vilkovisky structure of the Hochschild cohomology of preprojective algebras of non-Dynkin quivers are computed and the calculus can be easily computed from that.

研究の動機と目的

• ディンキン・クイバーの前射影的代数のホッフチルド・ホモロジーおよびコホモロジーにかかる完全なカルキュラス構造を特定すること。
• 先行研究におけるバタリン＝ヴィルコフスキー代数に関する結果を拡張し、すべてのクイバーに対してカルキュラス構造の記述を完成させること。
• カルタンの恒等式を用いて、ホッフチルド・ホモロジー上のコネス微分を計算し、それがゲルステンハーバー括弧および縮約写像を導くこと。
• バタリン＝ヴィルコフスキー作用素および双対性を用いて、コホモロジーおよびホモロジー基底へのリー微分作用を明示的に計算すること。
• 既知のヒルベルト級数および双対性定理に基づき、基底に依存する完全なカルキュラス構造の記述を構築すること。

提案手法

• ホッフチルド・コホモロジー上のバタリン＝ヴィルコフスキー（BV）構造を用い、カルタンの恒等式によりゲルステンハーバー括弧および縮約写像を導出する。
• カルタンの恒等式を適用して、ホッフチルド・ホモロジー上のコネス微分を計算し、これによりBV作用素が誘導されることを示す。
• [EE2]、[ES2]、[Eu2] で知られているホッフチルド・ホモロジーとコホモロジー空間の間の同型を活用し、基底を定義する。
• 公式 $ \mathcal{L}_X = [d, \iota_X] $ を用いてリー微分を計算する。ここで $ d $ はコネス微分、$ \iota_X $ は縮約を表す。
• 前射影的代数の次数構造および双対性構造を活用し、生成子 $ \theta_{l,t}, \omega_{l,t}, \psi_{l,t}, \varepsilon_{l,t}, \zeta_{l,t}, h_{l,t}, f_{l,t} $ への作用を計算する。
• BV作用素 $ B $ がホモロジーおよびコホモロジー生成子に作用する様子を計算し、その作用および $ \iota_{\theta_0} $ による逆像の明示的公式を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディンキン・クイバーの前射影的代数のホッフチルド・コホモロジーにおけるバタリン＝ヴィルコフスキー構造は、どのように完全なカルキュラス構造を決定するか？
• RQ2 既知の基底要素を用いて、ホッフチルド・ホモロジー上のコネス微分の明示的作用は何か？
• RQ3 ホッフチルド・コホモロジーに属する $ X $ に対して、リー微分 $ \mathcal{L}_X $ はコホモロジーおよびホモロジー基底にどのように作用するか？
• RQ4 この文脈において、BV作用素、ゲルステンハーバー括弧、および縮約写像の正確な関係は何か？
• RQ5 前射影的代数の次数構造および双対性構造は、カルキュラス作用素にどのように影響を与えるか？

主な発見

• ホッフチルド・ホモロジー上のコネス微分はカルタンの恒等式を用いて計算され、これによりコホモロジー環にBV構造が得られる。
• リー微分 $ \mathcal{L}_{\psi_{k}^{(s)}} $ は $ k = h-3 $ のときのみ非自明に作用し、$ \alpha(f_{\frac{h-3}{2},t-s-1}) $ および $ (t-s)hf_{\frac{h-3}{2},t-s-1} $ を含む明示的公式が得られる。
• $ \mathcal{L}_{z_k^{(s)}} $ による $ \theta_{l,t} $ および $ \psi_{l,t} $ への作用は $ \left(\frac{k}{2} - sh\right) $ に比例し、$ \iota_{\theta_0} $ による逆像を伴うが、$ z_{l,t}, \varepsilon_{l,t}, \zeta_{l,t}, f_{l,t} $ には作用しない。
• $ \mathcal{L}_{\omega_k^{(s)}} $ に対する非自明な作用は、$ \varepsilon_{l,t} $ および $ z_{l,t} $ に対してのみ発生し、それぞれ $ \delta_{kl}((t-s+1)h - 1)\zeta_{0,t-s} $ および $ \delta_{l0}(\frac{1}{2} + t - s)h\beta^{-1}(\omega_{k,t-s}) $ に等しい。
• $ \mathcal{L}_{\omega_k^{(s)}} $ による $ \theta_{l,t} $ への作用は $ \delta_{l0}(1 + th)\omega_{k,t-s} $ を与え、$ \theta $-基底との非自明な相互作用を示す。
• すべてのリー微分作用は完全に特定され、コックスター数 $ h $、次数 $ t $、シフト量 $ s $ に依存する基底要素の明示的表現で与えられる。