[論文レビュー] The Classification of Two-Dimensional Extended Topological Field Theories

Christopher Schommer‐Pries|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 39被引用数 168

ひとこと要約

本稿は、2次元の拡張された非向き付きおよび向き付きの分岐2-圏を、対称モノイダル2-圏として、生成子と関係式による完全な提示を提供する。これにより、任意の目標2-圏を持つ拡張されたトポロジカル場理論（TFT）が分類される。主な結果は、目標が可換環上の代数、双加群、インターツインヤーからなる2-圏である場合、向き付きの拡張TFTが分離可能で対称的なフロベニウス代数に同値であることを示している。

ABSTRACT

We provide a complete generators and relations presentation of the 2-dimensional extended unoriented and oriented bordism bicategories as symmetric monoidal bicategories. Thereby we classify these types of 2-dimensional extended topological field theories with arbitrary target bicategory. As an immediate corollary we obtain a concrete classification when the target is the symmetric monoidal bicategory of algebras, bimodules, and intertwiners over a fixed commutative ground ring. In the oriented case, such an extended topological field theory is equivalent to specifying a (non-commutative) separable symmetric Frobenius algebra. The text is divided into three chapters. The first develops a variant of higher Morse theory and uses it to obtain a combinatorial description of surfaces suitable for the higher categorical language used later. The second chapter is an extensive treatment of the theory of symmetric monoidal bicategories. We introduce several stricter variants on the notion of symmetric monoidal bicategory, and give a very general treatment of the notion of presentation by generators and relations. Finally we provide a host of strictification and cohernece results for symmetric monoidal bicategories. The final chapter focuses on extended tqfts. We give a precise treatment of the extended bordism bicategory equipped with additional structure (such as framings or orientations). We apply the results of the previous two chapters to obtain a simple presentation of both the oriented and unoriented bordism bicategories, and describe the general method to obtain such classifications for other choices of structure. We examine the consequences of our classification when the target is the bicategory of algebras, bimodules, and maps, over a fixed commutative ground ring.

研究の動機と目的

• 2次元の拡張された分岐2-圏を、生成子と関係式を用いて完全に代数的に提示すること。
• 任意の目標となる対称モノイダル2-圏を持つ拡張されたトポロジカル場理論（TFT）を分類すること。
• 目標が代数、双加群、インターツインヤーからなる2-圏である場合、向き付きの拡張TFTと分離可能で対称的なフロベニウス代数との明確な対応を確立すること。
• 対称モノイダル2-圏論の基礎的道具を構築すること。これには、coherence定理や厳密化結果が含まれる。
• モース理論およびセールフ理論の技法を一般化し、曲面の分類に依存せずに、曲面に対する2-圏的分解定理を構築すること。

提案手法

• ジャットの横断性とジャット空間の分層を用いて、高次モース理論およびセールフ理論を適応し、曲面に対する2-圏的分解定理を構築する。
• 任意の2つの曲面の分解の間を移動させるのに十分な有限個の局所的関係を導入し、生成子と関係式の提示の核を形成する。
• 対称モノイダル2-圏のためのグラフィカル計算を発展させ、非偏りの厳密化形や準厳密形のようなより強いバージョンも含む。
• coherence定理を適用し、対称モノイダル2-圏の間の準同型が単純な基準の集合を満たす場合に同値であることを示す。
• 計算の理論と提示の理論を用いて、対称モノイダル2-圏における生成子と関係式を形式化する。
• 追加構造（例えば、向き、フレーミング）を備えた拡張された分岐2-圏を構成し、開発された道具を用いてその提示を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元の拡張された非向き付きおよび向き付きの分岐2-圏が、対称モノイダル2-圏として、完全な生成子と関係式の集合は何か？
• RQ2 高次モース理論をどのように適応すれば、曲面の分類に依存せずに曲面の2-圏的分解を得られるか？
• RQ3 対称モノイダル2-圏の間の準同型が同値であるための条件は何か？
• RQ4 分離可能で対称的なフロベニウス代数の概念は、向き付きの場合の拡張されたトポロジカル場理論とどのように関係するか？
• RQ5 ブレイン多面体とシルレプシスは、対称モノイダル2-圏のcoherence構造において果たす役割は何か？

主な発見

• 2次元の拡張された非向き付きおよび向き付きの分岐2-圏は、対称モノイダル2-圏の圏において、生成子と関係式による完全な提示を有する。
• 可換環上の代数、双加群、インターツインヤーからなる2-圏を目標とする拡張されたトポロジカル場理論は、向き付きの場合、分離可能で対称的なフロベニウス代数に同値である。
• 本稿は、対称モノイダル2-圏の間の準同型が同値であるための有限で明示的な基準のリストを提供するcoherence定理を確立している。
• ブレイン多面体は、braidedモノイダル2-圏において必要なcoherence法則として特定され、かつ、カプラノフとヴォエヴォドスキー、およびブレインによる以前の定義を是正している。
• 非偏りの厳密化形の対称モノイダル2-圏のための新しいグラフィカル計算が開発され、coherenceおよび提示のより直接的な取り扱いが可能になった。
• 計算の理論と提示の理論が、対称モノイダル2-圏へと一般化され、この文脈における生成子と関係式の体系的取り扱いが可能になった。