[论文解读] The Complexity of $(\Delta + 1)$Coloring inCongested Clique, Massively Parallel Computation,and Centralized Local Computation

Yi‐Jun Chang, Manuela Fischer+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 15

一句话总结

本文提出了一类随机化算法，在汇聚 clique 模型和大规模并行计算（MPC）模型中实现了 (∆+1)-列表着色的最优 O(1)-轮复杂度，并在集中式本地计算（LCC）模型中实现了 ∆O(1)·O(log n) 的查询复杂度。其关键创新在于一种新颖的稀疏化着色框架，该框架减少了对高程度顶点的依赖，使得在 MPC 模型中实现亚对数轮复杂度、在汇聚 clique 模型中实现常数轮执行成为可能，前提是度数为多对数规模。

ABSTRACT

We present new randomized algorithms that improve the complexity of the classic $(\Delta+1)$-coloring problem, and its generalization $(\Delta+1)$-list-coloring, in three well-studied models of distributed, parallel, and centralized computation: Distributed Congested Clique: We present an $O(1)$-round randomized algorithm for $(\Delta+1)$-list coloring in the congested clique model of distributed computing. This settles the asymptotic complexity of this problem. It moreover improves upon the $O(\log^\ast \Delta)$-round randomized algorithms of Parter and Su [DISC'18] and $O((\log\log \Delta)\cdot \log^\ast \Delta)$-round randomized algorithm of Parter [ICALP'18]. Massively Parallel Computation: We present a $(\Delta+1)$-list coloring algorithm with round complexity $O(\sqrt{\log\log n})$ in the Massively Parallel Computation (MPC) model with strongly sublinear memory per machine. This algorithm uses a memory of $O(n^{\alpha})$ per machine, for any desirable constant $\alpha>0$, and a total memory of $\widetilde{O}(m)$, where $m$ is the size of the graph. Notably, this is the first coloring algorithm with sublogarithmic round complexity, in the sublinear memory regime of MPC. For the quasilinear memory regime of MPC, an $O(1)$-round algorithm was given very recently by Assadi et al. [SODA'19]. Centralized Local Computation: We show that $(\Delta+1)$-list coloring can be solved with $\Delta^{O(1)} \cdot O(\log n)$ query complexity, in the centralized local computation model. The previous state-of-the-art for $(\Delta+1)$-list coloring in the centralized local computation model are based on simulation of known LOCAL algorithms.

研究动机与目标

• 通过实现 O(1)-轮随机化算法，填补汇聚 clique 模型中 (∆+1)-列表着色问题的渐近复杂度差距。
• 设计首个在强子线性内存环境下实现亚对数轮复杂度的 MPC 算法，用于 (∆+1)-列表着色。
• 在集中式本地计算（LCC）模型中，将 (∆+1)-列表着色的查询复杂度提升至超越现有 LOCAL 算法模拟的水平。
• 通过一种新的稀疏化着色框架，统一分布式、并行和本地计算模型中的算法技术。
• 证明当 ∆=O(poly log n) 时，可在汇聚 clique 模型中实现常数轮着色，从而解决一个关键开放问题。

提出的方法

• 引入一种稀疏化着色过程，识别每个顶点的‘显著’邻居，并仅对这些邻居进行通信，从而减少消息大小和依赖性。
• 通过预处理步骤为每个顶点 v 计算一个缩减的邻居集合 N*(v)，满足 |N*(v)| = O(poly log ∆)，从而支持高效的局部计算。
• 应用加速引理（引理 2.3），在度数为多对数规模时，可在汇聚 clique 模型中用 O(1) 轮模拟 O(log*∆)-轮的 LOCAL 算法。
• 利用图破碎框架：将顶点划分为已着色、坏顶点和剩余组件，然后通过确定性或局部算法对每个组件进行着色。
• 通过使用大小有界的通信消息，在 MPC 和汇聚 clique 模型中对 LOCAL 算法进行黑箱模拟。
• 将由 R（低度顶点）、VBad（坏顶点）和未着色组件所诱导的子图结果相结合，实现具有有界复杂度的完整着色。

实验结果

研究问题

• RQ1 在汇聚 clique 模型中，(∆+1)-列表着色是否可以在 O(1) 轮内求解？若可以，需满足何种度数假设？
• RQ2 在每台机器具有强子线性内存的 MPC 模型中，是否可能实现 (∆+1)-列表着色的亚对数轮复杂度？
• RQ3 在集中式本地计算模型中，(∆+1)-列表着色的最优查询复杂度是多少？是否可超越对 LOCAL 算法的模拟方法？
• RQ4 如何利用稀疏化着色框架在多种计算模型中减少通信与复杂度？
• RQ5 当 ∆=O(poly log n) 时，是否可将加速引理应用于在汇聚 clique 模型中用 O(1) 轮模拟 O(log*∆)-轮的 LOCAL 算法？

主要发现

• 在汇聚 clique 模型中，实现了 (∆+1)-列表着色的 O(1)-轮随机化算法，从而确定了该问题的渐近复杂度。
• 首次提出了 MPC 模型中 (∆+1)-列表着色的亚对数轮复杂度算法，在强子线性内存环境下实现 O(√log log n) 轮复杂度。
• 在集中式本地计算模型中，(∆+1)-列表着色以 ∆O(1)·O(log n) 的查询复杂度求解，优于以往基于模拟的复杂度界限。
• 当 ∆=O(poly log n) 时，通过利用加速引理和消息大小约束，算法在汇聚 clique 模型中实现了 O(1)-轮复杂度。
• 稀疏化着色后剩余的未着色顶点形成边数为 O(n) 的子图，可通过黑箱模拟在 O(1) 轮内高效着色。
• 稀疏化着色框架通过仅关注显著邻居，减少了对高程度顶点的依赖，从而在多种模型中实现了可扩展且高效的计算。