[論文レビュー] The computational power of normalizer circuits over black-box groups

Juan Bermejo-Vega, Cedric Yen-Yu Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、群演算がオракルを介してアクセス可能なアーベル黒ボックス群を扱えるように一般化された、ブラックボックス正規化回路という新しい量子計算モデルを導入する。このモデルが、因数分解や離散対数問題など古典的に困難な問題を解けることを証明し、関連する複雑度クラスにおける完全問題として群の分解を特定することで、その計算能力の厳密な限界を確立する。

ABSTRACT

This work presents a precise connection between Clifford circuits, Shor's factoring algorithm and several other famous quantum algorithms with exponential quantum speed-ups for solving Abelian hidden subgroup problems. We show that all these different forms of quantum computation belong to a common new restricted model of quantum operations that we call \emph{black-box normalizer circuits}. To define these, we extend the previous model of normalizer circuits [arXiv:1201.4867v1,arXiv:1210.3637,arXiv:1409.3208], which are built of quantum Fourier transforms, group automorphism and quadratic phase gates associated to an Abelian group $G$. In previous works, the group $G$ is always given in an explicitly decomposed form. In our model, we remove this assumption and allow $G$ to be a black-box group. While standard normalizer circuits were shown to be efficiently classically simulable [arXiv:1201.4867v1,arXiv:1210.3637,arXiv:1409.3208], we find that normalizer circuits are powerful enough to factorize and solve classically-hard problems in the black-box setting. We further set upper limits to their computational power by showing that decomposing finite Abelian groups is complete for the associated complexity class. In particular, solving this problem renders black-box normalizer circuits efficiently classically simulable by exploiting the generalized stabilizer formalism in [arXiv:1201.4867v1,arXiv:1210.3637,arXiv:1409.3208]. Lastly, we employ our connection to draw a few practical implications for quantum algorithm design: namely, we give a no-go theorem for finding new quantum algorithms with black-box normalizer circuits, a universality result for low-depth normalizer circuits, and identify two other complete problems.

研究の動機と目的

• 群演算が明示的に分解されたものではなく、オラクルを介してアクセスされるアーベル黒ボックス群に対して、正規化回路モデルを拡張すること。
• これらのブラックボックス正規化回路の計算能力を特徴づけ、因数分解や離散対数問題のような問題を解く際の限界を特定すること。
• ブラックボックス正規化回路に関連する複雑度クラスにおける完全問題を同定し、その計算能力の上界と下界を厳密に確立すること。
• ショアのアルゴリズム、クリフォード回路、およびその他の指数的高速化を達成する量子アルゴリズムを、ブラックボックス正規化回路モデルを通じて統一的な枠組みで結びつけること。

提案手法

• 従来、$\mathbb{Z}^a \times \mathbb{T}^b \times \mathbb{Z}_{N_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{N_c}$ のように明示的に分解されたアーベル群に限定されていた標準正規化回路モデルを、群演算がオラクルによってアクセス可能な黒ボックス群に拡張する。
• ブラックボックス正規化回路を、部分群上の量子フーリエ変換、群自己同型ゲート、およびヒルベルト空間（群の元でラベル付けされたもの）に作用する二次位相ゲートから構成される回路として定義する。
• 群の分解が既知である場合に、一般化された安定化子形式を用いてブラックボックス正規化回路を古典的にシミュレートする。この手法により、群の分解がボトルネックであることが示される。
• 多項式時間チューリング還元を用いて、群の分解、隠れた核問題、および群上の線形方程式系がブラックボックス正規化複雑度クラスにおいて完全であることを証明する。
• デブラックボキシング技術を適用して、ブラックボックス群表現を行列形式に変換し、特定のサブルーチンの古典的シミュレーションを可能にする。
• アーベル隠れ部分群問題（HSP）アルゴリズムで使用される量子フーリエ変換の数が、漸近的に最適であり、一般には深さが最小であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックボックス群上の正規化回路は、因数分解や離散対数問題のような古典的に困難な問題を解けるか？
• RQ2 ブラックボックス正規化回路の正確な計算能力は何か？ それは古典的計算と比べてどう異なるか？
• RQ3 群の分解は、ブラックボックス正規化回路に関連する複雑度クラスにおける完全問題か？
• RQ4 ブラックボックス正規化回路を用いてアーベル隠れ部分群問題を効率的に解けるか？ また、回路の深さやフーリエ変換の回数の観点から、このアプローチは最適か？
• RQ5 ブラックボックス正規化複雑度クラスにおいて完全となる他の自然な問題は存在するか？

主な発見

• ブラックボックス正規化回路は、整数の因数分解や$\mathbb{Z}_p^\times$上での離散対数の計算といった古典的に困難な問題を解ける。ブラックボックス設定下で指数的量子高速化を示す。
• 有限アーベル群の分解は、多項式時間チューリング還元のもとでブラックボックス正規化複雑度クラスにおいて完全である。これは、このクラスにおける最も困難な問題であることを示している。
• 分解済み群からブラックボックス群への準同型写像が与えられるアーベル隠れ核問題は、ブラックボックス正規化クラスにおいて完全である。これは、このモデルにおける中心的役割を示している。
• 準同型写像とターゲットがブラックボックス群によって与えられるアーベル群上の線形方程式系も、ブラックボックス正規化クラスにおいて完全である。これにより、自然な完全問題のクラスが拡張される。
• アーベルHSPアルゴリズムで使用される量子フーリエ変換の数は、漸近的に最適であり、一般に正規化ゲートの深さも最適である。
• エンタングルメントゲートとフーリエ変換を含んでも、ブラックボックス正規化回路はユニバーサルではなく、群の分解の完全性のため、このモデルのみで新たな指数的高速化アルゴリズムは得られない。