[論文レビュー] The diagrammatic Soergel category and sl(2) and sl(3) foams

Pedro Vaz|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、図式的Soergel圏（SC）から普遍sl(2)およびsl(3)フォームの圏への、次数を保存する関手を構成し、量子群のカテゴリフィケーションとトポロジカルリンクホモロジーの間の図式的関係を確立する。主な貢献は、フォームコボルディズムを用いたSoergel圏の射の体系的かつ関手的な実現であり、すべての関手の族が同時に忠実であるため、HOMFLYPTからsl(N)ホモロジーへのスペクトル系列の図式的理解が可能になる。

ABSTRACT

We define two functors from Elias and Khovanov's diagrammatic Soergel category, one targeting Clark-Morrison-Walker's category of disoriented sl(2) cobordisms and the other the category of (universal) sl(3) foams.

研究の動機と目的

• 図式的Soergel圏とトポロジカルsl(N)フォーム理論の間のカテゴリカルなブリッジを確立すること。
• sl(2)およびsl(3)のフォームコボルディズムを用いて、Soergel圏の射の図式的実現を提供すること。
• すべてのNについてSoergel圏からsl(N)-フォーム圏への一様な関手族の土台を築くこと。
• Rasmussenのスペクトル系列がHOMFLYPTホモロジーからsl(N)ホモロジーへとどのように解釈できるかを図式的に理解することを可能にすること。
• 関手族の組み合わせが、SC内の射が非自明であることを保証するように、同時に忠実であることを示すこと。

提案手法

• 図式的Soergel圏SC1からClark-Morrison-Walkerの不規則なsl(2)フォーム圏への関手Fsl(2),nを定義する。
• SC1から普遍sl(3)フォーム圏への関手Fsl(3),nを定義し、生成子と関係をフォームコボルディズムで写像する。
• 両関手が次数を保存することを保証し、SCのカルーブィ包への拡張を可能にする。
• ホイソトピー不変性とフォーム関係を用いて、図式的Soergel圏の18の関係をすべて満たすことを検証する。
• （Bubble）、（DR）、（RD）、（SqR）、（Bamboo）などのフォーム関係を用い、Soergel圏の関係との整合性を確認する。
• カルーブィ包の普遍性を活用して、SC1から完全なSoergel圏SCへの関手の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 図式的Soergel圏をどのようにsl(2)フォーム圏へ関手的に写像できるか？
• RQ2 Soergel圏の生成子とsl(3)フォームコボルディズムとの正確な対応関係は何か？
• RQ3 関手がSoergel圏の次数と関係をどのように保存するか？
• RQ4 SCからsl(N)-フォーム圏への関手族の組み合わせは、SC内の非ゼロ射を検出できるか？
• RQ5 これらの関手は、HOMFLYPTからsl(N)ホモロジーへのRasmussenのスペクトル系列の解釈において、果たす役割は何か？

主な発見

• 関手Fsl(2),nは空の図式をsl(2)フォーム圏におけるn本の平行な垂直シートに写像する。
• 関手Fsl(3),nは、隣接する色を持つ6価頂点を、3枚のシートを含む特定の配置を持つ負のフォームに写像する。
• 両関手は図式的Soergel圏の18の関係すべてを満たす。これには、ホイソトピー、1色、2色、3色の関係が含まれる。
• 3つの隣接する色を含む関係（18）の像は、フォーム圏において0である。これは（Bubble）関係を用いて検証された。
• すべての関手の族は同時に忠実である：すべてのNについてFsl(N),n(f) = 0ならば、SCにおいてf = 0である。
• 本構成は、HOMFLYPTホモロジーからsl(N)ホモロジーへのスペクトル系列を理解するための図式的フレームワークを提供する。