[論文レビュー] The existence of Zariski dense orbits for endomorphisms of projective surfaces (with an appendix in collaboration with Thomas Tucker)

Junyi Xie|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 49被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、特性0の代数閉体上の滑らかな射影的曲面の支配的自己準同型に関して、ザリスキ・ドレイン・オルビット予想を証明する。すなわち、非定数の有理関数が写像によって不変でない限り、ザリスキ・ドレインな軌道が存在する。著者らはザリスキ位相よりも強い位相であるアデール位相を導入し、予想の定量的・アデール版を証明する。この結果は、曲面、アーベル曲面、および分解型多項式写像について成り立ち、主要な補足で、射影直線の積についても予想が証明されている。

ABSTRACT

In this paper we prove the following theorem. Let $f$ be a dominant endomorphism of a smooth projective surface over an algebraically closed field of characteristic $0$. If there is no nonconstant invariant rational function under $f$, then there exists a closed point whose orbit under $f$ is Zariski dense. This result gives us a positive answer to the Zariski dense orbit conjecture proposed by Medvedev and Scanlon, by Amerik, Bogomolov and Rovinsky, and by Zhang, for endomorphisms of smooth projective surfaces. Moreover, we define a new canonical topology on varieties over an algebraically closed field which has finite transcendence degree over $\mathbb{Q}$. We call it the adelic topology. The adelic topology is stronger than the Zariski topology and an irreducible variety is still irreducible in this topology. Using the adelic topology, we propose an adelic verison of the Zariski dense orbit conjecture. This version is stronger then the original one and it quantifies how many such orbits there are. We also proved this adelic version for endomorphisms of smooth projective surfaces. Moreover, we proved the adelic verison of the Zariski dense orbit conjecture for endomorphisms of abelian varieties and split polynomial maps. This yields new proofs for the original version in this two cases. In Appendix A, we study the endomorphisms on the $k$-affinoid spaces. We show that for certain endomorphism $f$ on a $k$-affinoid space $X$, the attractor $Y$ of $f$ is a Zariski closed subset and the dynamics of $f$ semi-conjugates to its restriction on $Y.$ A special case of this result is used in the proof of the main theorem. In Appendix B, written in collaboration with Thomas Tucker, we prove the Zariski dense orbit conjecture for endomorphisms of $(\mathbb{P}^1)^N.$

研究の動機と目的

• 特性0の代数閉体上の滑らかな射影的曲面の支配的自己準同型に関して、ザリスキ・ドレイン軌道予想を解決すること。
• Q over における有限トランセンドンス次数の体上の代数的多様体に、アデール位相を定義し、これはザリスキ位相よりも強く、既約性を保つこと。
• ザリスキ・ドレイン軌道予想のアデール版を定式化し、ザリスキ・ドレイン軌道の豊富さを定量的に示すこと。
• アーベル曲面および分解型多項式写像の元の予想に対して、アデール枠組みを用いて新たな証明を与えること。
• k-アフィンイド空間上の自己準同型の力学に関する基礎的結果を確立し、主証明に用いること。

提案手法

• Q over における有限トランセンドンス次数の体上の多様体に、アデール一般点および基本アデール集合を用いて定義されるアデール位相を導入すること。
• アデール位相を用いて、ザリスキ・ドレイン軌道予想のより強い形を定義し、任意のザリスキ開集合Uに対して、その中に軌道が入り、かつXにおいてザリスキ・ドレインとなる点が存在することを主張すること。
• 滑らかな射影的曲面の自己準同型に関して、非定数の有理関数がf不変でない限り、ザリスキ・ドレイン軌道が存在することを証明すること。
• 強化された自己準同型の理論および固定点における局所的力学を用いて、不変近傍を構成し、軌道の閉包の挙動を分析すること。
• k-アフィンイド力学の結果（付録A）を適用し、k-アフィンイド空間上の自己準同型の吸引子がザリスキ閉であり、その力学がその吸引子への制限と半同型的であることを示すこと。
• トーマス・タッカーとの共同研究（付録B）を用いて、(P^1)^N上の自己準同型に関して、非例外的およびラッティーズ型写像の性質を活用し、アデール版の予想を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性0の代数閉体上の滑らかな射影的曲面の支配的自己準同型が、非定数の有理関数をf不変に持たない場合、常にザリスキ・ドレイン軌道をもつのか？
• RQ2 ザリスキ・ドレイン軌道予想は、任意のザリスキ開集合にそのような軌道が存在することを保証する、より強いアデール版に拡張可能か？
• RQ3 アデール位相は、代数的力学における動的密度と既約性を捉える役割を果たすのか？
• RQ4 k-アフィンイド空間上の自己準同型の力学は、射影的多様体上のグローバルな力学とどのように関係するのか？
• RQ5 分解型多項式写像 (P^1)^N は、アデール版のザリスキ・ドレイン軌道予想を満たすのか？

主な発見

• 特性0の代数閉体上の滑らかな射影的曲面の支配的自己準同型について、非定数のf不変有理関数が存在しない限り、ザリスキ・ドレイン軌道予想は成り立つ。
• Q over における有限トランセンドンス次数の体上の多様体に、アデール位相は正しく定義されており、これはザリスキ位相よりも強く、既約多様体はそのままである。
• 滑らかな射影的曲面、アーベル曲面、および(P^1)^N上の分解型多項式写像の自己準同型に関して、ザリスキ・ドレイン軌道予想のアデール版が証明された。
• (P^1)^N上の自己準同型に関しては、因子数に関する帰納法を用い、すべての2重射影における非空のアデール開集合にザリスキ・ドレイン軌道が存在することを活用して、予想が確立された。
• k-アフィンイド空間上の自己準同型の吸引子がザリスキ閉であることが示され、その力学が吸引子への制限と半同型的であることが分かった。この結果は主証明で用いられた。
• アーベル曲面および分解型多項式写像の元の予想に対して、元の証明とは別に、より強いアデール版を最初に証明することで、新たな証明を与えた。