[論文レビュー] The final log canonical model of the moduli space of stable curves of genus four

Maksym Fedorchuk|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、モジュライ空間 $\overline{M}_4$ の最終的で非自明な対数 canonical モデルが、$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ 上の $(3,3)$-曲線の線型系の GIT 商として特定され、$8/17 < \alpha \leq 29/60$ の範囲で $\overline{M}_4(\alpha)$ に同型であることを示している。主な結果は、Farkas が提起した問題を解決し、有理的写像がペトリ除集合を収縮させることを確認しており、 genus 四の特殊線形系を排除する有理的収縮を構成した。

ABSTRACT

We describe the final log canonical model of the moduli space of stable curves of genus four. We prove that the rational map from $\bar{M}_4$ to this model contracts the Petri and the boundary divisors and flips the hyperelliptic locus. As an application, we find an exact bound on slopes of moving divisors on $\bar{M}_4$.

研究の動機と目的

• Farkas が提起した、$\overline{M}_4$ におけるペトリ除集合を収縮させる有理的収縮が存在するかという問題を解決すること。
• ハッセット＝キール対数最小モデルプログラムにおける $\overline{M}_4$ の最終的で非自明な段階を記述すること。
• 得られた対数 canonical モデルが、genus 四の曲線における Altmann-Farkas-Swinarski (AFS10) のモジュラリティ原理を満たすことを検証すること。
• 最終的対数 canonical モデルにおいて、滑らかな曲線の特殊線形系を置き換える特異曲線を同定すること。

提案手法

• 線型系 $|\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1}(3,3)| \simeq \mathbb{P}^{15}$ の $G = \mathrm{SL}(2)\times\mathrm{SL}(2)\rtimes\mathbb{Z}_2$ による作用の下での、対数 canonical モデル $\overline{M}_4(\alpha)$ を GIT 商として構成すること。
• 線形系 $\mathcal{O}_V(1)$ の線形化を保証するため、$\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1)$ の有限被覆である群 $G$ を用い、適切な GIT 積分の定義を保証すること。
• 有理写像 $f: \overline{M}_4 \dashrightarrow \overline{M}_4(29/60)$ の不定点集合を解析し、双曲的分岐集合および双曲的正規化を持つ非分岐ノード曲線の上に定義されないことを示すこと。
• $(3,3)$-曲線の退化の安定極限を調べることで、写像 $f$ がペトリ除集合 $P$ を一点に収縮することを証明すること。
• 安定極限および退化の理論を適用し、$A_8$-特異点を持つ曲線の安定極限の集合が双曲的分岐集合 $\overline{H}_4$ に一致することを示し、$\overline{H}_4$ が目標空間内の有理曲線 $A$ にフラップされることを確立すること。
• 予測された特異曲線の置き換えと実際の GIT 退化を一致させることで、最終モデル $\overline{M}_4(29/60)$ がモジュラリティ原理を満たすことを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的分岐集合の外では定義されないにもかかわらず、$\overline{M}_4$ におけるペトリ除集合 $P$ を収縮させる有理的収縮が存在するか？
• RQ2 ハッセット＝キール計画における $\overline{M}_4$ の最終的で非自明な対数 canonical モデルは何か？ そして幾何学的にどのように実現されるか？
• RQ3 最終的対数 canonical モデル $\overline{M}_4(29/60)$ に現れる特異曲線は何か？ そして、滑らかな曲線の特殊線形系をどのように置き換えるか？
• RQ4 双曲的曲線の分岐集合および楕円的三港湾を持つ曲線の分岐集合は、最終収縮の下でどのように変化するか？
• RQ5 AFS10 が $\overline{M}_4(\alpha)$ の構造について予測した内容が、$\alpha = 29/60$ においてどの程度成立するか？

主な発見

• $(8/17, 29/60]$ の $\alpha$ に対して、最終的で非自明な対数 canonical モデル $\overline{M}_4(\alpha)$ は、$\mathrm{SL}(2)\times\mathrm{SL}(2)\rtimes\mathbb{Z}_2$ による作用の下での線型系 $|\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1}(3,3)|$ の GIT 商と同型であり、モデルのモジュラリティ的実現を確認した。
• 有理写像 $f: \overline{M}_4 \dashrightarrow \overline{M}_4(29/60)$ はペトリ除集合 $P$ を一点に収縮させ、それが三重二次曲線をパラメトライズする点であるため、Farkas の質問に肯定的に答えている。
• 写像 $f$ は境界除集合 $\Delta_1$ および $\Delta_2$ を点に収縮させ、$\Delta_2$ は最大に退化した $A_5$-曲線に写される。
• 双曲的分岐集合 $\overline{H}_4$ は、$A_8$ および $A_9$ 特異点を持つ曲線をパラメトライズする有理曲線 $A$ にフラップされ、これは $\overline{H}_4$ の一般点の全逆像である。
• 二重二次曲線の安定極限の集合は $\Delta_0$ に含まれるため、一般の双曲的曲線を含まず、$\overline{H}_4$ のフラップが適切であることを確認した。
• 最終モデル $\overline{M}_4(29/60)$ は、対数 canonical モデルの期待される振る舞いを実現している：双曲的曲線は $A_8$-曲線に置き換えられ、楕円的三港湾を持つ曲線は $D_4$-曲線に、一般の $\Delta_2$-曲線は $A_5$-曲線に置き換えられる。