[論文レビュー] The Fukaya category pairs with Lagrangian cobordisms

Hiro TANAKA|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、凸で正確なシンプレクティック多様体 $M$ 内のコンパクトブレーンの Fukaya 圏と、非コンパクトラグランジュ的コボルディズムの $\infty$-圏との間のペアリングを確立する。$\infty$-圏的枠組みを用いて、コボルディズム圏から Fukaya 圏への函手 $\Xi$ を構成し、コボルディスムに属するコンパクトブレーンが Fukaya 圏内で同値であることを示す。本研究は、包絡された Fukaya 圏をコボルディズムスペクトル上で豊かにするための基盤を築く。

ABSTRACT

Fix a suitably convex, exact symplectic manifold M. We consider the stable oo-category Lag(M) of non-compact Lagrangians whose (higher) morphisms are (higher) Lagrangian cobordisms between them. We show that this oo-category pairs with the Fukaya category Fuk(M) of compact branes. In fact, we also show that there is a subcategory of Lag(M) which pairs with the wrapped Fukaya category of M. This is a first step in a project to enrich wrapped Fukaya categories over cobordism spectra. As a corollary, we show that cobordant compact branes are equivalent in the Fukaya category. We will also mention several other applications (without proof) of the oo-categorical appraoch: One can realize Seidel's representation as a π_0-level consequence of a map of spaces; stable cobordism groups of non-compact branes map to Floer cohomology groups; some of Biran-Cornea's results can be recovered from the colored planar operad associated to the s-dot constructions of each category; and there is an Eoo map of spectra from exact Lagrangian cobordisms in Euclidean space to the integers.

研究の動機と目的

• 凸で正確なシンプレクティック多様体 $M$ 内の非コンパクトラグランジュ的コボルディズムの $\infty$-圏 $\mathsf{Lag}_{\Lambda}(M)$ を定義し、その性質を研究すること。
• $\mathsf{Lag}_{\Lambda}(M)$ とコンパクトブレーンの Fukaya 圏 $\mathrm{Fuk}(M)$ の間の自然なペアリングを確立すること。
• コボルディスムに属するコンパクトブレーンが、$\infty$-圏的ペアリングを通じて Fukaya 圏内で同値であることを示すこと。
• 高次コボルディズム構造を用いて、包絡された Fukaya 圏をコボルディズムスペクトル上で豊かにするプログラムを開始すること。
• 高次圏的およびホモトピー的技法を通じて、古典的結果（例：Seidel 表現、Biran-Cornea 不変量）を回復するための枠組みを提供すること。

提案手法

• $M \times T^*\mathbb{R}^m$ 内の非コンパクトラグランジュ部分多様体の $\infty$-圏 $\mathsf{Lag}_{\Lambda}(M)$ を構成し、その射は高次元のラグランジュ的コボルディズムで与えられる。
• 安定化処理と $B$-構成を用いて、コボルディズム圏と Fukaya 圏の間の函手を定義する。
• $M$ および $M \times T^*\mathbb{R}$ におけるハミルトニアン摂動、コンパクト性および正則性の議論を用い、擬全純曲線技法を適用する。
• $\mathsf{Lag}^{\diamond \bullet}$ から Fukaya 圏への函手 $\Xi$ を導入し、面および退化写像と整合するようにする。
• モジュライ空間の擬全純ディスクの境界挙動を制御するため、コルニングおよび再パrametrization 技法を用いる。
• 高次ホモトピーを扱い、三角形的および安定構造と整合するように保つために、$\infty$-圏的枠組みに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ的コボルディズムは、コンパクトブレーンの Fukaya 圏と自然にペアリングされるような $\infty$-圏としてどのように整理できるか？
• RQ2 高次コボルディズムは、シンプレクティックトポロジーにおけるホモトピー的および代数的構造をどのように符号化するか？
• RQ3 コボルディスムに属するコンパクトブレーンが Fukaya 圏内で同値であることは、$\infty$-圏的ペアリングから導けるか？
• RQ4 この枠組みを用いて、包絡された Fukaya 圏をコボルディズムスペクトル上で豊かにできるか？
• RQ5 古典的不変量（例：Seidel 表現、Biran-Cornea 不変量）は、高次圏的写像の $\pi_0$-レベルの結果としてどのように現れるか？

主な発見

• ラグランジュ的コボルディズムの $\infty$-圏 $\mathsf{Lag}_{\mathrm{sk}(M)}(M)$ と Fukaya 圏 $\mathrm{Fuk}(M)$ はペアリングされ、自然な $\infty$-圏的双対性を確立する。
• コボルディスムに属するコンパクトブレーンは、$\Xi$ を通じたペアリングの結果として、Fukaya 圏内で同値である。
• この構成により、$\mathbb{R}^{2n}$ 内の正確なラグランジュ的コボルディズムから、$\mathbb{Z}$ の Eilenberg-MacLane スペクトルへのスペクトル写像 $\mathcal{L} \to H\mathbb{Z}$ が得られ、$E_\infty$-構造が実現される。
• 非コンパクトブレーンの安定コボルディズム群は、$\infty$-圏的枠組みを通じて Floer コホモロジー群へ写像される。
• Seidel の表現は、$\infty$-圏的設定における空間の写像の $\pi_0$-レベルの結果として生じる。
• Biran-Cornea の結果は、関係する圏の $s$-ドット構成に関連する色付き平面オペラッドから回復可能である。