[논문 리뷰] The full spectrum of scl on recursively presented groups

Nicolaus Heuer|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 03.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 재귀적으로 표현된 군에서의 안정적 교환자 길이(scl)의 집합이 비음수 오른쪽으로 계산 가능한 실수의 집합과 일치함을 증명한다. 소형 캐니컬 군과 반 캄펜 다이어그램을 이용하여, 임의의 비음수 오른쪽으로 계산 가능한 수를 scl 값으로 실현하는 구체적인 군을 구성함으로써, scl이 뺄셈에 대해 닫혀 있지 않으며 이 군의 범주에서 완전히 특성화됨을 입증한다.

ABSTRACT

We show that the set $SCL^{rp}$ of stable commutator lengths on recursively presented groups equals the set of non-negative right-computable numbers. Hence all non-negative algebraic or computable numbers are in $SCL^{rp}$ and $SCL^{rp}$ is not closed under subtraction. We also show that every non-negative real number is the stable commutator length of an element in some infinitely presented small cancellation group.

연구 동기 및 목표

• 재귀적으로 표현된 군에서 나타날 수 있는 안정적 교환자 길이(scl)의 전체 집합을 규명하는 것.
• 카일레가리의 열린 질문, 즉 유한적으로 표현된 군에서 대수적 수나 무리수 값이 scl 값으로 나타날 수 있는지 여부를 해결하는 것.
• 재귀적으로 표현된 군에서의 scl 값 집합이 정확히 비음수 오른쪽으로 계산 가능한 실수의 집합임을 보이는 것.
• 소형 캐니컬 표현을 통해 임의의 비음수 오른쪽으로 계산 가능한 scl 값을 실현하는 구체적인 군을 구성하는 것.
• scl 값 집합이 덧셈에 대해서는 닫혀 있으나 뺄셈에 대해서는 닫혀 있지 않음을 보이는 것.

제안 방법

• 오른쪽으로 계산 가능한 수를 정의하여, 그 상한이 유한한 유리수의 재귀적으로 열거 가능한 집합을 이룬다.
• 감소하는 비율 m_i/n_i를 갖는 수열 (m_i), (n_i)로부터 무한히 표현된 C'(1/6) 소형 캐니컬 군을 구성한다.
• 표면 위의 반 캄펜 다이어그램을 사용하여 오일러 지표와 조합적 복잡도를 통해 scl을 추정한다.
• 구성된 군에서 생성자 t의 scl이 lim_{i→∞} m_i/n_i 와 같음을 증명한다.
• 모든 오른쪽으로 계산 가능한 비음수 실수가 이러한 극한으로 나타남을 이용하여, 이를 scl 값으로 실현함을 보인다.
• 튜링 기계의 구성 방법을 사용하여 scl 값이 오른쪽으로 계산 가능하며, 이러한 모든 값이 구성된 군에서 실현됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재귀적으로 표현된 군의 원소에서 안정적 교환자 길이가 될 수 있는 비음수 실수는 무엇인가?
• RQ2 유한하거나 재귀적으로 표현된 군에서 대수적 수나 무리수 값이 scl 값으로 나타날 수 있는가?
• RQ3 재귀적으로 표현된 군에서의 scl 값 집합은 뺄셈에 대해 닫혀 있는가?
• RQ4 임의의 비음수 실수는 무한히 표현된 소형 캐니컬 군에서 어떤 원소의 scl로 실현될 수 있는가?
• RQ5 모든 오른쪽으로 계산 가능한 scl 값에 대해 유한적으로 표현된 군의 실현이 존재하는가?

주요 결과

• 재귀적으로 표현된 군에서의 안정적 교환자 길이의 집합은 비음수 오른쪽으로 계산 가능한 실수의 집합과 정확히 일치한다.
• 모든 비음수 계산 가능한 수와 대수적 수는 어떤 재귀적으로 표현된 군에서 scl 값으로 실현된다.
• scl 값 집합은 덧셈에 대해서는 닫혀 있으나 뺄셈에 대해서는 닫혀 있지 않으며, 이를 입증하는 명백한 반례가 존재한다.
• 모든 오른쪽으로 계산 가능한 α ≥ 0에 대해, scl(t) = α 를 만족하는 원소 t를 갖는 무한히 표현된 C'(1/6) 소형 캐니컬 군이 존재한다.
• 구성은 감소하는 비율을 갖는 수열 (m_i), (n_i)를 사용하여 재귀적 표현을 정의하며, 반 캄펜 다이어그램 추정을 통해 scl이 m_i/n_i의 극한과 같음을 보였다.
• 이 결과는 재귀적으로 표현된 군에서의 scl 값이 정확히 위상에서부터 알고리즘적으로 근사 가능한 것들임을 시사한다.