[論文レビュー] The generic fiber of moduli spaces of bounded local $G$-shtukas

Urs Hartl, Eva Viehmann|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

この論文は関数体設定における有界局所 $G$-shtukaのモジュライ空間の基礎的理論を確立し、任意の再帰的群 $G$ に対してラポルト＝ジンクス空間を一般化する。周期写像を周期空間へ構成し、一般化されたファイバー上にヘッケ作用および自己同型作用を備えた塔を定義し、この塔の $ι$-進コホロジーが関連する群の滑らかな表現として有限型であることを証明する。これは正標数における幾何学的局所ラングランズ理論の基盤を築く。

ABSTRACT

Moduli spaces of bounded local $G$-shtukas are a group-theoretic generalization of the function field analog of Rapoport and Zink's moduli spaces of $p$-divisible groups. In this article we generalize some very prominent concepts in the theory of Rapoport-Zink spaces to our setting. More precisely, we define period spaces, as well as the period map from a moduli space of bounded local $G$-shtukas to the corresponding period space, and we determine the image of the period map. Furthermore, we define a tower of coverings of the generic fiber of the moduli space which is equipped with a Hecke action and an action of a suitable automorphism group. Finally we consider the $\ell$-adic cohomology of these towers.

研究の動機と目的

• 任意の再帰的群 $G$ に対して、関数体におけるラポルト＝ジンクス理論を一般化するため、有界局所 $G$-shtukaのモジュライ空間を構成すること。
• 周期空間を定義し、モジュライ空間から周期空間への周期写像を定義し、この写像の像を同定すること。
• モジュライ空間の一般化されたファイバー上に、ヘッケ作用および自己同型群作用を備えた被覆の塔を構成すること。
• この塔の $ι$-進コホロジーを研究し、自己同型群の滑らかな表現としての有限型性を確立すること。

提案手法

• ${\cal{G}}$ を $L^+G$- torsor とし、$\tau_{\cal{G}}$ を同型写像 $\sigma^*L{\cal{G}} \to L{\cal{G}}$ として、局所 $G$-shtuka をペア $({\cal{G}}, \tau_{\cal{G}})$ として定義する。
• 群 $G$ に関連するフラグ多様体として周期空間を構成し、モジュライ空間からこの空間への周期写像を定義する。
• コンパクト開部分群を用いて、互いに整合するヘッケ作用および自己同型作用を備えた、一般化されたファイバーの被覆の塔を導入する。
• シーガー・コホロジーのスペクトル系列を用いて塔のコホロジーを分析し、部分的コンパクト誘導および部分的固有性を活用する。
• コホロジー群が有限型であることを示すために、有限型部分商を持つ有限フィルトレーションを示すことで証明する。
• 滑らかな表現論の結果を応用して、Ext-群の有限次元性を導出し、コホロジーの有限型性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界局所 $G$-shtukaのモジュライ空間から関連する周期空間への周期写像の像は何か？
• RQ2 モジュライ空間の一般化されたファイバー上に、ヘッケ作用および自己同型作用を備えた塔をどのように構成できるか？
• RQ3 この塔の $ι$-進コホロジーは、自己同型群の滑らかな表現としてどのような構造を持つか？
• RQ4 この塔のコホロジーが、関数体設定における局所ラングランズ対応をどの程度実現するか？
• RQ5 コホロジーが滑らかな表現として有限型であるための条件は何か？

主な発見

• 有界局所 $G$-shtukaのモジュライ空間から周期空間への周期写像の像が明示的に同定された。
• モジュライ空間の一般化されたファイバーは、ヘッケ作用と定義された $G$-shtuka の自己同型群の可換作用を備えた被覆の塔を備える。
• この塔の $ι$-進コホロジー群は、自己同型群 $J$ の滑らかな表現として有限型である。
• コンパクト誘導と有限次元表現を用いたスペクトル系列の議論により、コホロジー群が有限型であることが示された。
• 任意の $J$ の適切な表現 $\Pi$ に対して、$\operatorname{Ext}^p_J(H^q_c({\breve{\cal{M}}}^K, \overline{\mathbb{Q}}_\ell), \Pi)$ は $\overline{\mathbb{Q}}_\ell$ 上で有限次元であり、コホロジーの有限型性が確認された。
• コホロジーは部分的固有性とスペクトル系列を用いて計算され、主な入力は $U_K^\text{rig}$ が $\breve{E}$ に対して部分的に固有であることである。