[論文レビュー] The Geometry of Interaction of Differential Interaction Nets

Marc de Falco|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2008

Logic, programming, and type systems参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、線形論理から導かれる非決定的計算のモデルである微分的相互作用ネットワークへ、幾何学的相互作用（GoI）を拡張する。等式理論と、パス重みに基づく具体的な逆転可能計算モデルを導入し、線形論理の乗法的加法的断片（MALL）におけるパスの代数的特徴付けを初めて提供するとともに、MELLのGoIを非決定的設定へ保守的に拡張する。

ABSTRACT

The Geometry of Interaction purpose is to give a semantic of proofs or programs accounting for their dynamics. The initial presentation, translated as an algebraic weighting of paths in proofnets, led to a better characterization of the lambda-calculus optimal reduction. Recently Ehrhard and Regnier have introduced an extension of the Multiplicative Exponential fragment of Linear Logic (MELL) that is able to express non-deterministic behaviour of programs and a proofnet-like calculus: Differential Interaction Nets. This paper constructs a proper Geometry of Interaction (GoI) for this extension. We consider it both as an algebraic theory and as a concrete reversible computation. We draw links between this GoI and the one of MELL. As a by-product we give for the first time an equational theory suitable for the GoI of the Multiplicative Additive fragment of Linear Logic.

研究の動機と目的

• 微分的相互作用ネットワーク（非決定的計算をモデル化するもの）に対する幾何学的相互作用（GoI）フレームワークの構築を目的とする。
• 和の記号の句単位の符号化を通じて、従来のMALLにおけるGoIの取り扱いでは失われた、プログラムにおけるパスの代数的特徴付けを回復することを目的とする。
• 逆転可能計算とパス重みに基づく、GoIの健全で具体的なモデルを提供することを目的とする。これにより、既存のMELLのGoIが拡張される。
• 線形論理の乗法的加法的断片（MALL）のGoIに適した等式理論を確立することを目的とし、これまではこのような形式的体系が欠落していた。

提案手法

• 微分的相互作用ネットワークにおけるパス重みを形式化するために、新しい代数的構造 $\partial L^{\star}$ 代数を構築する。
• パス還元とワイヤー相互作用に基づく、逆転可能計算モデルとしての具体的実装 $\mathfrak{d}\mathfrak{L}$ を導入する。
• 和の木、名前付きセル、緩和された和の木を考慮するパス還元規則を用いて、非決定的選択をモデル化する。
• パスに重み付け機構を適用し、実行トレースとそのダイナミクスを表すために $\partial L^{\star}$ の要素を割り当てる。
• 「剃ぎ取られた」パス（完全還元中に破壊されるパス）を扱うために、ブランチインジケータ $\sigma(\alpha)$ を用いた正規化された実行式 $\textsf{SNEX}_R$ を定義する。
• コ・デリクション、コ・コントラクション、コ・ウェイクネスの自己双対性を活用し、MELLのGoIを非決定的設定へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何学的相互作用は、微分的相互作用ネットワークにおける非決定的計算をどのように拡張できるか？
• RQ2 線形論理の乗法的加法的断片（MALL）におけるパスのダイナミクスを捉えるために、どのような等式理論が適しているか？
• RQ3 還元に関して不変性を保ちつつ、微分的相互作用ネットワークにおけるパス重みを代数的に特徴付けるにはどうすればよいか？
• RQ4 微分的相互作用ネットワークの実行を忠実に表現する逆転可能計算モデルを構築できるか？
• RQ5 ウェイクネスとコ・ウェイクネスはパスダイナミクスにおいて果たす役割は何か？また、「死んだ」ブランチは代数的にどのように特定できるか？

主な発見

• 本稿は、線形論理の乗法的加法的断片（MALL）の幾何学的相互作用に適した等式理論を初めて提示する。
• 微分的相互作用ネットワークのGoIは健全である：パス重みは還元に対して不変であり、$\textsf{SNEX}_R$ 関数によって形式化される。
• 正規化された実行式 $\textsf{SNEX}_R(R')$ は、弱正規化されたdinから出発するすべての還元において不変であり、その堅牢性が保証される。
• 完全還元中に破壊されるパス（「死んだ」ブランチ）は、$\sigma(\alpha)$ 関数によって特定され、ウェイクネスまたはコ・ウェイクネスで終わるパスを検出する。
• 微分的相互作用ネットワークにおけるパス重みの構造は、$\{\omega\omega^\star \mid \omega \in \partial L^{\star}_a\}$ の部分ラティスと同型であるため、非決定的挙動のラティスに基づく解析が可能になる。
• MELLのGoIは微分的相互作用ネットワークへ保守的に拡張され、元のパス重みの意味論を保ちつつ、形式的和と双対演算を用いて非決定性を統合する。