[论文解读] The Golay Code Outperforms the Extended Golay Code Under Hard-Decision Decoding

Jon Hamkins|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2016

Blind Source Separation Techniques参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文表明，在硬判决最大似然译码下，二元Golay码（23,12,7）在码字误码率和比特误码率方面优于扩展Golay码（24,12,8），尽管后者的最小距离更高。关键洞见在于，传输第24个校验位的能量成本超过了纠正部分重量为四的错误模式所带来的收益，因此忽略第24个符号并仅使用前23个符号进行译码是最优的。

ABSTRACT

We show that the binary Golay code is slightly more power efficient than the extended binary Golay code under maximum-likelihood (ML), hard-decision decoding. In fact, if a codeword from the extended code is transmitted, one cannot achieve a higher probability of correct decoding than by simply ignoring the 24th symbol and using an ML decoder for the non-extended code on the first 23 symbols. This is so, despite the fact that using that last symbol would allow one to sometimes correct error patterns with weight four. To our knowledge the worse performance of the extended Golay code has not been previously noted, but it is noteworthy considering that it is the extended version of the code that has been preferred in many deployments.

研究动机与目标

• 分析并比较二元Golay码（G23）与扩展Golay码（G24）在硬判决最大似然译码下的性能。
• 研究尽管扩展Golay码的最小距离更高（8 vs. 7），为何其在硬判决译码下的误码率表现反而更差。
• 确定在能效与译码可靠性方面，包含第24个校验位是否带来净性能增益或造成净损失。
• 评估使用G23的最大似然译码器对G24的前23个符号进行译码，是否优于完整的G24译码。
• 阐明使用扩展码与非扩展码时，码字误码率（CWER）与比特误码率（BER）之间的性能权衡。

提出的方法

• 本文比较了两种译码器的码字误码率（CWER）：一种仅使用G24的前23个符号，并采用完整的G23最大似然译码器（D23）；另一种使用全部24个符号，并采用完整的G24最大似然译码器（D24）。
• 推导出D24能正确译码而D23失败的概率：当在前23个符号中发生四次错误且第24个符号正确时，该概率为1/6。
• 推导出D23能正确译码而D24失败的概率：当在前23个符号中发生三次错误且第24个符号出错时，该概率为5/6。
• 利用恒等式 5×(23 choose 3) = (23 choose 4) = 8855，证明两种错误模式在CWER上恰好相互抵消，从而证明D23与D24具有相同的CWER。
• 通过近似公式 BER ≈ (7/23)×CWER（G23）和 BER ≈ 0.26×CWER（G24）在最优译码下的BER性能建模，表明G23的BER更低。
• 考虑一种针对BER优化的G24译码器，当检测到四次错误时输出接收到的系统位，将平均比特错误数降至每码字2个，优于标准G24译码的约2.6个平均比特错误。

实验结果

研究问题

• RQ1 在硬判决最大似然译码下，扩展Golay码（G24）是否在码字误码率方面优于二元Golay码（G23）？
• RQ2 尽管扩展Golay码的最小距离更高（8），为何其在硬判决译码下的性能反而劣于非扩展码（最小距离7）？
• RQ3 在最大似然译码下，包含第24个校验位对整体误码率性能的净影响是什么？
• RQ4 忽略第24个符号并仅译码前23个符号，是否能获得优于完整24位码的性能？
• RQ5 在最优译码策略下，G23与G24的比特误码率（BER）表现如何比较，哪种译码器实现更低的BER？

主要发现

• 尽管G24的最小距离更高，其完整最大似然译码器的码字误码率（CWER）与二元Golay码（G23）的完整最大似然译码器完全相同。
• G24纠正部分重量为四的错误模式所带来的性能增益，恰好被第24个符号出错时译码失败概率上升所抵消，因此CWER无净改善。
• 在硬判决译码下，二元Golay码（G23）相比扩展Golay码（G24）在CWER上获得0.2 dB增益，两条性能曲线因第24位比特的传输能量成本而恰好相隔0.18 dB。
• 对于比特误码率（BER），G23相比G24约有0.13 dB增益，因为G24的BER在最优译码下被降低至0.26×CWER，低于G23的(7/23)≈0.304×CWER。
• 一种针对BER优化的G24译码器，当检测到四次错误时输出接收到的系统位，可将平均比特错误数降至每码字2个，优于标准G24译码器的约2.6个平均比特错误。
• 在软判决译码下，扩展Golay码（G24）优于二元Golay码（G23），证实G23的性能优势仅存在于硬判决译码场景。