[论文解读] The graphs with the max-Mader-flow-min-multiway-cut property

Guyslain Naves, Vincent Jost|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文表征了Mader-Menger图——即对于任意独立终端集$\mathcal{S}$与权函数$w$，其终端间顶点不相交路径的最大权打包等于分离它们的最小权顶点割的图。通过禁止顶点 minors 的表征与识别算法，本文证明：一个图是Mader-Menger图当且仅当它不包含某些极小障碍物，并提供了多项式时间算法，用于计算此类图中的最大路径打包与最小多割。

ABSTRACT

We are given a graph $G$, an independant set $\mathcal{S} \subset V(G)$ of \emph{terminals}, and a function $w:V(G) o \mathbb{N}$. We want to know if the maximum $w$-packing of vertex-disjoint paths with extremities in $\mathcal{S}$ is equal to the minimum weight of a vertex-cut separating $\mathcal{S}$. We call \emph{Mader-Mengerian} the graphs with this property for each independant set $\mathcal{S}$ and each weight function $w$. We give a characterization of these graphs in term of forbidden minors, as well as a recognition algorithm and a simple algorithm to find maximum packing of paths and minimum multicuts in those graphs.

研究动机与目标

• 表征满足对任意独立终端集$\mathcal{S}$与权函数$w$，其最大$w$-打包的顶点不相交$\mathcal{S}$-路径等于最小$w$-权顶点割的图。
• 识别确保系统(1)为TDI（完全对偶整数）的结构性质，从而保证最大路径打包与最小割之间的等式成立。
• 为Mader-Menger图提供多项式时间识别算法。
• 为在这些图中计算最大$w$-打包与最小$w$-割开发高效算法。
• 证明：对所有终端集$\mathcal{S}$的TDI性质可简化为仅检查$|\mathcal{S}|=3$的情况，从而简化验证。

提出的方法

• 通过系统(1)定义的$w$-打包$\mathcal{S}$-路径与$w$-割分离$\mathcal{S}$之间的加权最小-最大对偶性，引入Mader-Menger图的概念。
• 引入一种新颖的顶点 minors 操作（顶点删除、收缩与边收缩），以定义Mader-Menger图的禁止 minors 表征。
• 应用完全对偶整数性（TDI）理论，证明系统(1)为TDI当且仅当其定义的多面体为整数多面体。
• 引入类$\overline{\mathcal{A}_3}$，即每种颜色一个终端的三色奇圈的带符号顶点 minors，作为TDI的极小障碍物。
• 利用图是Mader-Menger图当且仅当其不包含$\overline{\mathcal{A}_3}$中任何带符号顶点 minors 的事实，通过 minors 排除实现识别。
• 通过基于极小障碍物的对偶性论证，将检查任意$\mathcal{S}$的TDI性质问题简化为仅检查$|\mathcal{S}|=3$的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些图满足对所有独立终端集$\mathcal{S}$与权函数$w$，其最大$w$-打包的顶点不相交$\mathcal{S}$-路径与最小$w$-权顶点割之间的最小-最大等式？
• RQ2 表征Mader-Menger图的禁止顶点 minors 障碍物的完整集合是什么？
• RQ3 系统(1)的TDI性质能否高效验证？其是否可简化为有限个终端配置的检查？
• RQ4 是否存在多项式时间算法用于识别Mader-Menger图，并计算其中的最大路径打包与最小多割？
• RQ5 无角三元组图是否属于Mader-Menger图类？若是，其何种结构性质可保证这一点？

主要发现

• 一个图是Mader-Menger图当且仅当它不包含$\overline{\mathcal{A}_3}$中的任何带符号顶点 minors，即每种颜色一个终端的三色奇圈。
• 系统(1)的TDI性质对所有$\mathcal{S}$成立，当且仅当其对所有满足$|\mathcal{S}|=3$的$\mathcal{S}$成立，从而显著简化验证过程。
• 存在一个多项式时间算法，利用禁止 minors 表征实现Mader-Menger图的识别。
• 对于Mader-Menger图，可通过在导出图中计算最大顶点容量流，多项式时间计算最大$w$-打包的$\mathcal{S}$-路径与最小$w$-权$\mathcal{S}$-割。
• Mader-Menger图类包含所有无角三元组图，建立了非平凡的结构包含关系。
• Mader-Menger图的顶点 minors 障碍物列表是无限的，且无法给出该列表的显式表征，表明其复杂性。