[論文レビュー] The Halpern-Läuchli Theorem at a Measurable Cardinal

Natasha Dobrinen, Dan Hathaway|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、可測基数 𝜅 の高さにおける有限個の正規木について、Halpern-Läuchli の定理の整合性を、𝜅+d-強大数を上限として一致性の強度を要するフォーシング構成を用いて確立している。弱いコンパクト基数についてのさまざまな Halpern-Läuchli の変種の同値性を証明し、任意の無限基数について1つの正規木に対して強い木のバージョンが ZFC で成り立つことを示しており、非可算基数における一致性の強度と同値性に関する重要な問いに答えている。

ABSTRACT

Several variants of the Halpern-Läuchli Theorem for trees of uncountable height are investigated. For $κ$ weakly compact, we prove that the various statements are all equivalent. We show that the strong tree version holds for one tree on any infinite cardinal. For any finite $d \ge 2$, we prove the consistency of the Halpern-Läuchli Theorem on $d$ many $κ$-trees at a measurable cardinal $κ$, given the consistency of a $κ+d$-strong cardinal. This follows from a more general consistency result at measurable $κ$, which includes the possibility of infinitely many trees, assuming partition relations which hold in models of AD.

研究の動機と目的

• 可測基数 𝜅 における d 個の正規 𝜅-木についての Halpern-Läuchli の定理の一致性の強度を特定すること。
• 非可算基数について、弱い（どこかで稠密な）および強い（強い木）形式の Halpern-Läuchli の定理が同値であるかどうかを調査すること。
• 任意の無限基数について、正規木1本に対して強い木のバージョンの Halpern-Läuchli の定理が ZFC で成り立つことを確立すること。
• 測度を保ちながら Halpern-Läuchli の定理を複数の木について実現するフォーシング拡張と、分割関係との関係を調査すること。
• 可測基数における Halpern-Läuchli の定理の正確な一致性の強度と独立性に関する未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 𝜅 が 𝜅+𝑑-強大数であるモデル上で Add(𝜅, 𝜅+𝑑) をフォーシングし、分割関係 𝜅+𝑑 → (𝜅)𝑑𝜅 が成り立つように保証すること。
• ⟨𝜅𝛼-サックス・フォーシングの逆東京反復を用いて、𝜅 が測度を保ち、かつ d 個の木について Halpern-Läuchli の定理が成り立つモデルを構成すること。
• Woodin の結果を応用し、𝜅+𝑑-強大数が 𝜅 に 𝜅+𝑑 個の Cohen の部分集合を加えることで測度を保つことを示すこと。
• AD のモデルからの分割関係を用いて、適切な仮定の下で無限個の木への Halpern-Läuchli の定理の拡張を実現すること。
• 弱いコンパクト基数について、すべての Halpern-Läuchli 変種が同じフォーシングおよび分割的原理から従うことを示し、それらの同値性を証明すること。
• ハリントン風のフォーシングの議論を非可算基数に適応し、大数の存在下での均一性と色クラスの縮約を扱うために修正すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの非可算基数 𝜅 に対して、高さ 𝜅 の木について Halpern-Läuchli の定理が ZFC あるいは一貫的に成り立つか？
• RQ2 特に 𝜅 が可測であるとき、非可算 𝜅 における Halpern-Läuchli の定理の正確な一致性の強度は何か？
• RQ3 非可算基数について、弱い（どこかで稠密な）形式と強い（強い木）形式の Halpern-Läuchli の定理は同値か？
• RQ4 可測基数 𝜅 について、d 個の木では成り立つが d+1 個の木では成り立たないような ZFC のモデルが存在するか？
• RQ5 𝜅 > 𝜔 に対して HL(2,2,𝜅) が ZFC の定理であるか？

主な発見

• 任意の有限 d≥2 に対して、可測基数 𝜅 における d 個の正規 𝜅-木についての Halpern-Läuchli の定理の一貫性は、𝜅+d-強大数の存在によって示唆される。
• 任意の無限基数 𝜅 に対して、高さ 𝜅 の正規木1本について、色の数が有限個のとき、強い木のバージョンの Halpern-Läuchli の定理は ZFC の結果として成り立つ。
• 𝜅 が弱いコンパクト基数であるとき、𝛿 個の正規 𝜅-木（𝛿<𝜅）についての Halpern-Läuchli のすべての変種は同値である。
• 可測 𝜅 における d 個の木についての Halpern-Läuchli の定理の一貫性の強度は、𝜅+d-強大数によって上界が与えられ、これが正確な強度であるという予想を支持する。
• Halpern-Läuchli の定理が d 個の木について成り立つことは、1つの木における d-サイズの反鎖の色分けよりも一貫性の強度が弱いことが、Shelah や Dzamonja-Larson-Mitchell の先行研究で示されている。
• 𝜅+d-強大数の存在を仮定すると、𝜅 が可測で、すべての 𝜎<𝜅 に対して HL(d,𝜎,𝜅) が成り立つが、ある 𝜎<𝜅 に対して HL(d+1,𝜎,𝜅) が成り立たないようなモデルを構成できる。