[論文レビュー] The inhomogeneous Allen--Cahn equation and the existence of prescribed-mean-curvature hypersurfaces

Costante Bellettini, Neshan Wickramasekera|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、次元 $n+1 \geq 3$ のコンpaktoなリーマン多様体において、非負のリプシッツ関数 $g$ と連続な単位法線 $ \nu$ の積 $g\nu$ を指定された平均曲率として持つ、準埋め込み的で $C^{2,\beta}$ の超曲面の存在を確立する。証明は非同次アレン・コーン方程式とバリフォールド正則性理論を用いたPDEに基づくミニマックス構成であり、特異集合のハウスドルフ次元が制御可能であり、得られる超曲面が近似のもとで安定であることを示している。

ABSTRACT

We prove that for any given compact Riemannian manifold $N$ of dimension $n+1 \geq 3$ and any non-negative Lipschitz function $g$ on $N$, there exists a quasi-embedded, boundaryless hypersurface $M \subset N,$ of class $C^{2, α}$ for any $α\in (0,1),$ such that $M$ is the image of a two-sided immersion whose mean curvature is given by $gν$ for an appropriate choice of continuous unit normal $ν$ to the immersion; and moreover, the singular set $Σ= \overline{M} \setminus M$ is empty if $2 \leq n \leq 6,$ finite if $n=7$ and satisfies ${\mathcal H}^{n-7 + γ}(Σ) = 0$ for every $γ>0$ if $n \geq 8$. Here quasi-embedded means that near every non-embedded point, $M$ is the union of two embedded $C^{2, α}$ disks intersecting tangentially with each disk lying on one side of the other. If $g >0$ then $\overline{M}$ is the boundary of a Caccioppoli set. Our proof of this theorem is PDE theoretic and relies, when $g>0$ and $g\in C^{1,1}(N)$, on (i) a mountain pass construction of solutions to the inhomogeneous Allen--Cahn equation and (ii) a regularity result for integral varifolds arising from a Morse-index bounded, energy bounded, sequence of solutions to the (inhomogeneous) Allen--Cahn equation. The case of non-negative Lipschitz $g$ follows by approximation, based on the estimates that we establish.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体上での指定された平均曲率 $g\nu$ をもつ超曲面の存在を確立すること。
• 関数 $g$ が非負でリプシッツ的であるが、滑らかでない場合の、このような超曲面の構成の課題を解決すること。
• 得られる超曲面の特異集合の構造と正則性を制御すること、特に高次元における特徴を明らかにすること。
• アレン・コーン方程式のミニマックス法を、非ゼロの平均曲率をもつ非同次系に拡張すること。
• アレン・コーン解から得られる極限バリフォールドが最小成分を除いて正則であり、必要に応じて最小成分を除去すること。

提案手法

• 非同次アレン・コーン方程式 $-\varepsilon\Delta u + \varepsilon^{-1}W'(u) = \sigma g$ に対して、$\varepsilon > 0$ を十分小さくし、山脈補題を用いたミニマックス構成により有界な解 $u_\varepsilon$ を生成すること。
• 解 $u_\varepsilon$ に対して、$\varepsilon$ に依存しない一様なエネルギーおよびモース指数の上限を確立し、バリフォールド極限におけるコンパクトネスを保証すること。
• 変分的でないバリフォールド正則性理論を適用し、列 $u_{\varepsilon_j}$ からの任意の極限バリフォールド $V$ が、可能な最小成分を除いて $C^{2,\alpha}$ 正則であることを示すこと。
• 初期データを巧みに構成した半線形勾配流れ（アレン・コーン流れ）を用い、最小極限バリフォールドを非最小に摺り替えることで、最終的な極限が完全に最小でないことを保証すること。
• 正則な極限バリフォールドから最小部分を除去し、平均曲率 $g\nu$ をもつ $C^{2,\alpha}$ 超曲面を分離すること。
• 安定性および密度推定に基づく局所的ブロー・アップ解析とカットオフ関数の議論により、極限バリフォールドの $C^{2,\alpha}$ 正則性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の非負リプシッツ関数 $g$ に対して、コンパクトなリーマン多様体上に、指定された平均曲率 $g\nu$ をもつ $C^{2,\alpha}$ 超曲面を構成できるか？
• RQ2 特に次元 $n \geq 7$ の場合に、そのような超曲面の特異集合の構造とハウスドルフ次元はいかなるものか？
• RQ3 アレン・コーン近似からの極限バリフォールドが正則であり、完全に最小でないことをどのように保証できるか？
• RQ4 ミニマックス法を非同次アレン・コーン方程式に適応し、非ゼロの平均曲率をもつ解を得られるか？
• RQ5 最小極限バリフォールドが、非最小で正則な極限をもつように摂動可能となる条件は何か？

主な発見

• 任意の次元 $n+1 \geq 3$ のコンパクトなリーマン多様体 $N$ と任意の非負リプシッツ関数 $g$ に対して、ある連続な単位法線 $ \nu$ をもつ、準埋め込み的で $C^{2,\alpha}$ の超曲面 $M \subset N$ が存在し、平均曲率 $H_M = g\nu$ を満たす。
• 特異集合 $\overline{M} \setminus M$ は、$2 \leq n \leq 6$ のとき空集合であり、$n = 7$ のときは有限個であり、$n \geq 8$ のときは任意の $\gamma > 0$ に対して $\mathcal{H}^{n-7+\gamma}(\Sigma) = 0$ を満たす。
• アレン・コーン近似からの極限バリフォールド $V$ は、可能な最小成分を除いて $C^{2,\alpha}$ 正則であり、これらは滑らかに除去可能である。
• 極限バリフォールドが完全に最小である場合、アレン・コーン流れを用いた新たな解列を構成し、非最小の極限バリフォールドを得る。その後、再び除去により正則性を保つ。
• 得られる超曲面 $M$ は、平均曲率 $g\nu$ をもつ二面的 $C^{2,\alpha}$ 潰し写像の像であり、$g > 0$ のとき $\overline{M}$ はカッチォッポリ集合の減少境界の閉包である。
• 本手法は、指定された平均曲率関数が非負または非正である場合にも適用可能であり、法線方向を反転させることで対応できる。