[論文レビュー] The Meaning of \'Etale Stacks

David Carchedi|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、空間と局所ホメオモルフィズムのサイト上のストラックの延長として、エタールスタックを圏論的に特徴づける。エタール微分可能スタックと局所微分同相写像の2-圏が、滑らかな多様体と局所微分同相写像のサイト上のシャリーの2-トポスに同値であることを証明する。さらに、有効エタールスタックは、シャリーの延長として正確に得られることを示し、これを用いてハエフリッガー群コホーショングループで提示される分類スタックを用いて、リーマン構造とシンプレクティック構造を分類する。

ABSTRACT

In this article, we derive many properties of etale stacks in various contexts, and prove that etale stacks may be characterized categorically as those stacks that arise as prolongations of stacks on a site of spaces and local homeomorphisms. Moreover, we show that the bicategory of etale differentiable stacks and local diffeomorphisms is equivalent to the 2-topos of stacks on the site of smooth manifolds and local diffeomorphisms. An analogous statement holds for other flavors of manifolds (topological, $C^k,$ complex, super...), and topological spaces locally homeomorphic to a given space $X.$ A slight modification of this result also holds in an even more general context, including all etale topological stacks, and Zariski etale stacks, and we also sketch a proof of an analogous characterization of Deligne-Mumford algebraic stacks. We go on to characterize effective etale stacks as precisely those stacks arising as the prolongations of sheaves. It follows that etale stacks (and in particular orbifolds) induce a small gerbe over their effective part, and all gerbes over effective etale stacks arise in this way. As an application, we show that well known Lie groupoids arising in foliation theory give presentations for certain moduli stacks. For example, there exists a classifying stack for Riemannian metrics, presented by Haefliger's groupoid $R\Gamma$ and submersions into this stack classify Riemannian foliations, and similarly for symplectic structures, with the role of $R\Gamma$ replaced with $\Gamma^{Sp}.$ We also prove some unexpected results, for example: the category of smooth $n$-manifolds and local diffeomorphisms has binary products.

研究の動機と目的

• 微分可能、位相的、複素多様体を含むさまざまな幾何的文脈におけるエタールスタックの圏論的特徴づけを提供すること。
• エタール微分可能スタックと局所微分同相写像の2-圏と、滑らかな多様体と局所微分同相写像のサイト上のスタックの2-トポスとの間の同値性を確立すること。
• 有効エタールスタックが、シャリーの延長として正確に得られるものであり、それらがゲルベとモジュライ問題にどのように関連するかを示すこと。
• 理論をフォリエーション理論に応用し、ハエフリッガー群コホーショングループによって提示される分類スタックを用いて、リーマン構造とシンプレクティック構造を分類すること。
• Zariski エタールスタックやデリーニュ＝ムンフォード代数的スタックを含むより一般の設定へと枠組みを拡張し、滑らかな n-多様体と局所微分同相写像の圏における二項積の存在といった構造的結果を証明すること。

提案手法

• 空間と局所ホメオモルフィズムのサイト上のストラックの延長として、エタールスタックを特徴づけるために圏論的延長を用いる。
• 2-トポス理論を適用し、エタール微分可能スタックの2-圏が、滑らかな多様体と局所微分同相写像のサイト上のスタックの2-トポスに同値であることを示す。
• 有効エタールスタックが、シャリーの延長として正確に得られるものであり、そのスタック上のゲルベの構造を用いてこれを確立する。
• フォリエーション理論におけるリー群コホーショングループに理論を適用し、ハエフリッガーの群コホーショングループ RΓ がリーマン計量の分類スタックを提示することを示す。
• 同じ枠組みを用いて、射影が分類スタックへと写る写像がリーマンフォリエーションを分類することを示し、Γ^Sp を用いたシンプレクティック構造に対しても同様の結果を得る。
• 滑らかな n-多様体と局所微分同相写像の圏における二項積の存在といった構造的結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エタールスタックは、空間と局所ホメオモルフィズムのサイト上のストラックの延長として、どのように圏論的に特徴づけられるか？
• RQ2 エタール微分可能スタックと局所微分同相写像の2-圏と、滑らかな多様体と局所微分同相写真のサイト上のスタックの2-トポスとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 どのエタールスタックがシャリーの延長として得られるか？また、これはゲルベ理論とどのように関連するか？
• RQ4 フォリエーション理論における代表的なリー群コホーショングループ、例えばハエフリッガーの群コホーショングループ RΓ は、リーマン計量のような幾何的構造の分類スタックを提示すると解釈できるか？
• RQ5 滑らかな多様体と局所微分同相写像の圏において、二項積の存在といった構造的性質はどのようなものが成り立つか？

主な発見

• エタール微分可能スタックと局所微分同相写像の2-圏は、滑らかな多様体と局所微分同相写像のサイト上のスタックの2-トポスに同値である。
• 有効エタールスタックは、シャリーの延長として正確に得られるものであり、それらはその有効部分上に小さなゲルベを誘導する。
• 有効エタールスタック上のすべてのゲルベは、シャリーの延長として得られるため、完全な分類が確立される。
• ハエフリッガーの群コホーショングループ RΓ は、リーマン計量の分類スタックを提示する。そのスタックへの射影は、リーマンフォリエーションを分類する。
• シンプレクティック構造に対しても同様の結果が成り立ち、分類スタックは Γ^Sp によって提示される。
• 滑らかな n-多様体と局所微分同相写像の圏は二項積を備えており、これは非自明な構造的結果である。