[論文レビュー] The Milnor-Witt motivic ring spectrum and its associated theories

Frédéric Déglise, Jean Fasel|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 18

ひとこと要約

本稿は完備体上でのミルナー＝ウットモチーフ的環スペクトルを構成し、特異的スキーム上で4つのねじれ付きコホモロジー理論—モチーフ的コホモロジー、ボレル＝ムーアホモロジー、コンパクト台付きコホモロジー、ホモロジー—を統一する形式的枠組みを可能にする。この理論は、自然なスペクトルの準同型を通じて、古典的モチーフ的理論へのファンクタークラス的写像を確立し、ヴェドヴォスキーの枠組みを非可換コホモロジーに一般化し、仮想ベクトルバンドルによる一般化されたねじれを含む。

ABSTRACT

We build a ring spectrum representing Milnor-Witt motivic cohomology, as well as its étale local version and show how to deduce out of it three other theories: Borel-Moore homology, cohomology with compact support and homology. These theories, as well as the usual cohomology, are defined for singular schemes and satisfy the properties of their motivic analog (and more), up to considering more general twists. In fact, the whole formalism of these four theories can be functorially attached to any ring spectrum, giving finally maps between the Milnor-Witt motivic ones to the classical motivic ones.

研究の動機と目的

• 特異的スキームを定義する完備体上でのミルナー＝ウットモチーフ的コホモロジーを表す環スペクトルの構成。
• 任意の環 $R$ を係数として、ミルナー＝ウットモチーフ的環スペクトルと仮想ベクトルバンドルによる一般化されたねじれを用いて、4つの関連理論（コホモロジー、ボレル＝ムーアホモロジー、コンパクト台付きコホモロジー、ホモロジー）の定義。
• 6つの関手形式的枠組みの文脈において、これらの理論のファンクタークラス性、双対性、降下性の確立。
• ミルナー＝ウット理論から古典的モチーフ的コホモロジーおよびホモロジーへの自然な準同型の構成、積とファンクタークラス性と整合。
• トム空間を任意の仮想バンドルに組み込むことで、古典的モチーフ的形式的枠組みを非可換コホモロジー理論へ一般化。

提案手法

• 完備体 $k$ 上の $\mathbb{A}^1$-導来圏における可換モノイドとして、ミルナー＝ウットモチーフ的環スペクトル $\mathbf{H}_{\mathrm{MW}}R$ を構成。
• 6つの関手形式的枠組み（引き戻し、押し出し、ねじれ）を用い、任意の環 $R$ を係数として、環スペクトルから4つの関連理論を定義。
• 双対性定理を適用し、接バンドルのねじれを通じてボレル＝ムーアホモロジーとコホモロジーを関連づけ、古典的双対性同型を一般化。
• 環スペクトルの準同型 $\psi: \mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}R \to \mathbf{H}_{\mathrm{MW}}R \to \mathbf{H}_{\mathrm{M}}R$ を確立し、関連するコホモロジーおよびホモロジー理論間の自然変換を誘導。
• 導来圏におけるホモロジーの計算を、ねじれた双対化対象 $f^!(\mathbf{H}_{\mathrm{M}}R) \otimes \mathrm{Th}(-v)$ を用いて行う。
• cdh位相および移動付き層の理論に依拠し、適切な条件下でボレル＝ムーアホモロジーをチャウ＝ウット群と $R$ のテンソル積として特定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的スキームに対して、ミルナー＝ウットモチーフ的コホモロジーを表すモチーフ的環スペクトルをどのように構成できるか？
• RQ2 4つの標準的モチーフ的理論（コホモロジー、ボレル＝ムーアホモロジー、コンパクト台付きコホモロジー、ホモロジー）を、一般化されたねじれによる非可換コホモロジー理論へファンクタークラス的に拡張できるか？
• RQ3 ミルナー＝ウットモチーフ的理論と古典的モチーフ的コホモロジーおよびホモロジーとの関係は何か？ そして、自然な準同型によってどのように関連づけられるか？
• RQ4 仮想ベクトルバンドルによる一般化されたねじれの文脈において、双対性およびギジン準同型はどのように振る舞うか？
• RQ5 6つの関手形式的枠組みは、古典的モチーフ的設定を超えて、コホモロジー理論をどれほど統一的に扱えるか？

主な発見

• ミルナー＝ウットモチーフ的環スペクトル $\mathbf{H}_{\mathrm{MW}}R$ は、$\mathrm{D}_{\mathbb{A}^1}(k,R)$ 内の可換モノイドとして構成され、任意の $k$-代数的多様体に対してミルナー＝ウットモチーフ的コホモロジーを表す。
• 滑らかな $k$-スキーム $X$ と整数 $(n,m)$ に対して、自然な同型 $\mathbf{H}_{\mathrm{MW}}^{n}(X,m,R) \simeq \mathbf{H}_{\mathrm{MW}}^{n+2m,m}(X,R)$ が存在し、$\widetilde{\mathrm{DM}}(k,R)$ 内の標準的モチーフ的コホモロジーへのねじれ付きコホモロジーの関連を示す。
• 体 $k$ が無限大であるとき、ねじれ $m$ と次数 $n=0$ のミルナー＝ウットモチーフ的コホモロジーはチャウ＝ウット群に一致する：$\mathbf{H}_{\mathrm{MW}}^{0}(X,m,\mathbb{Z}) \simeq \widetilde{\mathrm{CH}}^m(X)$。
• $R$ が条件 (3.2.3.a) を満たす $\mathbb{Z}$ の局域化であるとき、ボレル＝ムーアモチーフ的ホモロジーは $\mathbf{H}^{\mathrm{M},\mathrm{BM}}_{n}(X,v,R) \simeq \mathrm{CH}_m(X,n) \otimes_{\mathbb{Z}} R$ として計算される。
• $\varphi_*: \mathbf{H}^{\mathrm{MW},\mathrm{BM}}_n(X,v,R) \to \mathrm{CH}_m(X,n) \otimes_{\mathbb{Z}} R$ は、反変および共変ファンクタークラス性、および局所化の長完全系列と整合する。
• 双対性定理により、接バンドルのねじれを通じてボレル＝ムーアホモロジーとコホモロジーが同定される：$\mathbf{H}^{\mathrm{MW},\mathrm{BM}}_n(X,T_X - m,R) \simeq \mathbf{H}_{\mathrm{MW}}^{2m-n,m}(X,R)$。