[論文レビュー] The Mirkovic-Vilonen basis and Duistermaat-Heckman measures

Pierre Baumann, Joel Kamnitzer+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 71被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、簡約型代数群 $G$ のユニポテンツ部分群 $N$ の座標環 $\mathbb{C}[N]$ における Mirković–Vilonen (MV) 基底が双完全（biperfect）であることを確立した。すなわち、Chevalley生成子の作用と両立することを意味する。幾何的 Satake対応およびアフィン的・Beilinson–Drinfeld のグラスマンニアンにおける交線論を用いて、著者らは低ランクでは MV 基底が Lusztig の双対半単純基底と一致することを証明したが、$SL_6$ では一致しないことを示し、Duistermaat–Heckman 測度および前射的代数の加群を用いて長年の予想を解決した。

ABSTRACT

Using the geometric Satake correspondence, the Mirkovic-Vilonen cycles in the affine Grasssmannian give bases for representations of a semisimple group G . We prove that these bases are "perfect", i.e. compatible with the action of the Chevelley generators of the positive half of the Lie algebra g. We compute this action in terms of intersection multiplicities in the affine Grassmannian. We prove that these bases stitch together to a basis for the algebra C[N] of regular functions on the unipotent subgroup. We compute the multiplication in this MV basis using intersection multiplicities in the Beilinson-Drinfeld Grassmannian, thus proving a conjecture of Anderson. In the third part of the paper, we define a map from C[N] to a convolution algebra of measures on the dual of the Cartan subalgebra of g. We characterize this map using the universal centralizer space of G. We prove that the measure associated to an MV basis element equals the Duistermaat-Heckman measure of the corresponding MV cycle. This leads to a proof of a conjecture of Muthiah. Finally, we use the map to measures to compare the MV basis and Lusztig's dual semicanonical basis. We formulate conjectures relating the algebraic invariants of preprojective algebra modules (which underlie the dual semicanonical basis) and geometric invariants of MV cycles. In the appendix, we use these ideas to prove that the MV basis and the dual semicanonical basis do not coincide in SL_6.

研究の動機と目的

• MV 基底が $\mathbb{C}[N]$ に対して双完全である、すなわち Chevalley 生成子 $e_i$ の左および右作用と両立することを証明すること。
• Beilinson–Drinfeld のグラスマンニアンにおける交線多重度を用いた MV 基底の乗法構造の幾何的記述を行い、Anderson の予想を確認すること。
• $\u0000\mathbb{C}[N]$ からコントラクトされたカルタン部分代数の双対上の測度への写像を定義し、MV 基底要素の像がその対応する MV サイクルの Duistermaat–Heckman 測度に一致することを証明すること。
• 測度および幾何的不変量を用いて MV 基底と Lusztig の双対半単純基底を比較し、$SL_6$ でそれらが一致しないことを証明すること。
• 前射的代数の加群の代数的不変量と MV サイクルの幾何的不変量を結びつける予想を提示すること。

提案手法

• 幾何的 Satake 対応を用いて、アフィン的グラスマンニアン内の MV サイクルを用いて $\u0000\mathbb{C}[N]$ の基底を構成する。
• Chevalley 生成子の MV 基底への作用は、アフィン的グラスマンニアンにおける交線多重度を用いて計算される。
• MV 基底における乗法は、Beilinson–Drinfeld のグラスマンニアンにおける交線論を用いて記述され、Anderson の予想が確認される。
• $G$ の普遍中心化子空間を用いて、$\u0000\mathbb{C}[N]$ からコントラクトされたカルタン部分代数上の測度の畳み込み代数への写像を構成する。
• MV サイクルの Duistermaat–Heckman 測度が、その対応する MV 基底要素に付随する測度に等しいことが示され、Muthiah の予想が証明される。
• $\u0000\Lambda$-加群（前射的代数の表現）からの測度と MV サイクルからの測度を比較することで、$SL_6$ において MV 基底と双対半単純基底が一致しないことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MV 基底は、$\mathbb{C}[N]$ 上の Chevalley 生成子 $e_i$ の作用と両立するか、すなわち双完全か？
• RQ2 Anderson が予想したように、MV 基底の乗法則は Beilinson–Drinfeld のグラスマンニアンにおける交線多重度から生じるか？
• RQ3 MV 基底要素に付随する測度は、その対応する MV サイクルの Duistermaat–Heckman 測度に等しいか？
• RQ4 $SL_6$ において MV 基底と Lusztig の双対半単純基底は一致するか？
• RQ5 前射的代数の加群の代数的不変量と MV サイクルの幾何的不変量は関連づけることができるか？

主な発見

• MV 基底が $\mathbb{C}[N]$ に対して双完全であることが証明され、$e_i$ の作用はアフィン的グラスマンニアンにおける交線多重度を用いて計算された。
• MV 基底における乗法則が、Beilinson–Drinfeld のグラスマンニアンにおける交線多重度によって支配されることを確認し、Anderson の予想が証明された。
• MV 基底要素に付随する測度が、その対応する MV サイクルの Duistermaat–Heckman 測度に等しいことが示され、Muthiah の予想が証明された。
• $SL_6$ において、MV 基底と双対半単純基底は異なることが示された。その根拠として、多重度の差が観察された：$\overline{D}(b_Z) = \overline{D}(\xi_{M_{a}\oplus M_{a'}}) - 2\overline{D}(\xi_{I(\omega_2+\omega_4)})$。
• $\tau = \young(1133,2255,44,66)$ に対する MV サイクル $Z_{\tau}$ は、24 変数の素イデアルを用いて一般化された軌道的多様体として定義可能であり、多重度の計算が可能となった。
• MV サイクル $Z_{\tau}$ の定義イデアルのコンピュータ支援的記述を用いて、その多重度が計算され、$SL_6$ における MV 基底と双対半単純基底の非一致が確認された。