[论文解读] The Power of Dynamic Distance Oracles: Efficient Dynamic Algorithms for the Steiner Tree

Jakub Łącki, Jakub Oćwieja+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 46被引用 7

一句话总结

本论文首次提出了斯坦纳树问题的亚线性时间动态算法，利用动态点-颜色距离预言机和在线斯坦纳树技术。对于一般图，每更新一次的时间复杂度为 Õ(√n log D)，近似比为 (6+ε)；对于平面图，近似比为 (2+ε)，且在放宽近似界的情况下，平面图可实现更快的亚对数时间算法。

ABSTRACT

In this paper we study the Steiner tree problem over a dynamic set of terminals. We consider the model where we are given an $n$-vertex graph $G=(V,E,w)$ with positive real edge weights, and our goal is to maintain a tree which is a good approximation of the minimum Steiner tree spanning a terminal set $S \subseteq V$, which changes over time. The changes applied to the terminal set are either terminal additions (incremental scenario), terminal removals (decremental scenario), or both (fully dynamic scenario). Our task here is twofold. We want to support updates in sublinear $o(n)$ time, and keep the approximation factor of the algorithm as small as possible. We show that we can maintain a $(6+\varepsilon)$-approximate Steiner tree of a general graph in $ ilde{O}(\sqrt{n} \log D)$ time per terminal addition or removal. Here, $D$ denotes the stretch of the metric induced by $G$. For planar graphs we achieve the same running time and the approximation ratio of $(2+\varepsilon)$. Moreover, we show faster algorithms for incremental and decremental scenarios. Finally, we show that if we allow higher approximation ratio, even more efficient algorithms are possible. In particular we show a polylogarithmic time $(4+\varepsilon)$-approximate algorithm for planar graphs. One of the main building blocks of our algorithms are dynamic distance oracles for vertex-labeled graphs, which are of independent interest. We also improve and use the online algorithms for the Steiner tree problem.

研究动机与目标

• 在终端添加和删除的动态环境下，开发高效动态斯坦纳树问题算法，且更新时间复杂度为亚线性。
• 在保持快速更新时间的同时，最小化近似比，特别是在稀疏图和平面图中。
• 引入并利用动态点-颜色距离预言机作为高效动态斯坦纳树维护的核心构建模块。
• 弥合在线斯坦纳树算法与具有可证明亚线性更新时间的实际动态算法之间的差距。
• 探索在动态设置下是否能获得更优的近似比，特别是针对平面图。

提出的方法

• 利用动态点-颜色距离预言机，高效计算动态变化集合中终端之间的近似距离。
• 基于平面图中的分层分解和基于门户的连接，构建通用的距离预言机构造方法。
• 应用具有贪心和替换策略的在线斯坦纳树算法，以在每次更新后维持低代价生成树。
• 利用二分图模拟器模拟度量闭包，将斯坦纳树问题转化为动态最小生成树维护问题。
• 利用平面图分隔符和递归分解，构建低度且有界拉伸的预言机。
• 实现一个完全动态框架，结合了增量和增量式在线算法，以及高效的更新数据结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在平面图中以亚线性更新时间维护一个 (2+ε)-近似斯坦纳树？
• RQ2 动态距离预言机是否可用于在平面图中实现动态斯坦纳树的亚对数时间更新？
• RQ3 是否可以避免动态算法中对度量拉伸 D 的依赖？
• RQ4 能否利用动态预言机在平面图中实现 (1+ε)-近似动态斯坦纳树？
• RQ5 能否将一般图中动态算法的预处理时间和空间复杂度降低至接近线性？

主要发现

• 在一般图中，每更新一次的时间复杂度为 Õ(√n log D)，可维护一个 (6+ε)-近似斯坦纳树，其中 D 为度量的拉伸值。
• 对于平面图，每更新一次的时间复杂度为 Õ(√n log D)，可维护一个 (2+ε)-近似斯坦纳树，与目前已知的最佳静态近似比一致。
• 在平面图中实现了亚对数时间的 (4+ε)-近似动态算法，其摊销更新时间复杂度为 O(ε⁻¹ log⁶ n)。
• 二分图模拟器的构造使得度量闭包的高效模拟成为可能，从而将问题简化为动态最小生成树维护。
• 开发了动态点-颜色距离预言机，一般图的近似比为 (3+ε)，平面图的近似比为 (1+ε)。
• 该框架能高效支持增量和减量更新，且在每种情况下均获得了改进的界。