[論文レビュー] The Quantum Eigenvalue Problem and Z-Eigenvalues of Tensors

Xinzhen Zhang, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|May 7, 2012

Tensor decomposition and applications参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子もつれにおける量子固有値問題と実対称テンソルのZ固有値問題の間の直接的な対応関係を確立し、テンソルZ固有値理論およびアルゴリズムを量子系に応用可能にする。主な貢献は、量子固有値が常に±λのペアで現れることを証明し、もつれ固有値が常にZスペクトル半径以上であることを示し、有限次元テンソル空間内ではQR比（もつれ固有値とZスペクトル半径の比）が上界で有界であることを示している。

ABSTRACT

The quantum eigenvalue problem arises in the study of the geometric measure of the quantum entanglement. In this paper, we convert the quantum eigenvalue problem to the Z-eigenvalue problem of a real symmetric tensor. In this way, the theory and algorithms for Z-eigenvalues can be applied to the quantum eigenvalue problem. In particular, this gives an upper bound for the number of quantum eigenvalues. We show that the quantum eigenvalues appear in pairs, i.e., if a real number $λ$ is a quantum eigenvalue of a square symmetric tensor $Ψ$, then $-λ$ is also a quantum eigenvalue of $Ψ$. When $Ψ$ is real, we show that the entanglement eigenvalue of $Ψ$ is always greater than or equal to the Z-spectral radius of $Ψ$, and that in several cases the equality holds. We also show that the ratio between the entanglement eigenvalue and the Z-spectral radius of a real symmetric tensor is bounded above in a real symmetric tensor space of fixed order and dimension.

研究の動機と目的

• 多粒子量子系における量子固有値問題と実対称テンソルのZ固有値問題との間の理論的ブリッジを確立すること。
• 量子固有値の数が有限かどうかという未解決問題を解き、その数の上界を導出すること。
• Z固有値の物理的意味を明確化し、それがもつれ尺度および量子系における正規化制約とどのように関連するかを示すこと。
• もつれ固有値とZスペクトル半径の関係を、特に実対称テンソルの条件下で調査すること。

提案手法

• 複素対称テンソルΨの量子固有値問題を、次元が2nの実対称テンソルTのZ固有値問題に再定式化する。
• nを超えるインデックスの個数に基づく符号則を用いて、実対称テンソルTを明示的に構成し、ΨのQ固有値がTのZ固有値に対応することを保証する。
• E固有多項式および対称テンソルの性質を用いて、Z固有値（およびしたがって量子固有値）が常にペアで現れることを証明する：λがZ固有値であれば、−λもZ固有値である。
• QR比を、すべてのm次n次元実対称テンソルに対して、もつれ固有値とZスペクトル半径の比の上界として定義する。
• スペクトルノルムおよび既知のZスペクトル半径の上限を用いて、QR比が有界であることを示す。
• 既存のZ固有値およびE固有値に関する結果を活用し、この文脈においてZ固有値がより基本的であることを示し、E固有値および同値固有ペアが有用なツールであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多粒子純状態における量子固有値の数は有限か？ また、その上界を導出可能か？
• RQ2 量子固有値問題は、実対称テンソルのZ固有値問題に還元可能か？ もしそうなら、その方法は何か？
• RQ3 量子固有値はゼロに関して対称的か、すなわち±λのペアで現れるか？
• RQ4 もつれ固有値は、関連するテンソルのZスペクトル半径とどのように関係するか？
• RQ5 m次n次元実対称テンソル空間内で、もつれ固有値とZスペクトル半径の比は上界で有界か？

主な発見

• 実対称テンソルΨの量子固有値は常にペアで現れる：λが量子固有値であれば、−λも量子固有値である。
• 実対称テンソルΨのもつれ固有値は、常にそのZスペクトル半径以上である。
• いくつかの特定のケースでは、もつれ固有値がZスペクトル半径に等しい。
• m粒子純状態における量子固有値の数は、最大で(m−1)^{2n}−1 / (m−2)であることが示され、有限の上界が得られた。
• QR比（もつれ固有値とZスペクトル半径の比の上界）は有限であり、2^{(m−1)/2} ρ(m,2n) / μ(m,n)で上界が与えられる。
• ΨからTを構成する過程において、ΨのQ固有値がTのZ固有値に正確に対応することを保証し、量子固有値問題がZ固有値問題に還元可能であることを裏付けた。