[論文レビュー] The quantum query complexity of approximating the median and related statistics

Ashwin Nayak, Felix Wu|ArXiv.org|Apr 29, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、n 個の数の列における中央値および関連統計の量子クエリ複雑度を確立する。多項式法を用いて、ε-近似中央値を計算するには Ω(min{1/ε, n}) クエリのタイトな下界が示され、O((1/ε) log(1/ε) log log(1/ε)) クエリを達成する量子アルゴリズムが提示され、この問題および k 番目の最小要素や平均の近似といった関連タスクにおいてほぼ最適性が示された。

ABSTRACT

Let X = (x_0,...,x_{n-1})$ be a sequence of n numbers. For ε> 0, we say that x_i is an ε-approximate median if the number of elements strictly less than x_i, and the number of elements strictly greater than x_i are each less than (1+ε)n/2. We consider the quantum query complexity of computing an ε-approximate median, given the sequence X as an oracle. We prove a lower bound of Ω(\min{{1/ε},n}) queries for any quantum algorithm that computes an ε-approximate median with any constant probability greater than 1/2. We also show how an ε-approximate median may be computed with O({1/ε}\log({1\/ε}) \log\log({1/ε})) oracle queries, which represents an improvement over an earlier algorithm due to Grover. Thus, the lower bound we obtain is essentially optimal. The upper and the lower bound both hold in the comparison tree model as well. Our lower bound result is an application of the polynomial paradigm recently introduced to quantum complexity theory by Beals et al. The main ingredient in the proof is a polynomial degree lower bound for real multilinear polynomials that ``approximate'' symmetric partial boolean functions. The degree bound extends a result of Paturi and also immediately yields lower bounds for the problems of approximating the kth-smallest element, approximating the mean of a sequence of numbers, and that of approximately counting the number of ones of a boolean function. All bounds obtained come within polylogarithmic factors of the optimal (as we show by presenting algorithms where no such optimal or near optimal algorithms were known), thus demonstrating the power of the polynomial method.

研究の動機と目的

• n 個の数の列における ε-近似中央値を計算するための量子クエリ複雑度を特定すること。
• k 番目の最小要素、平均、およびブール関数における 1 の数のカウントといった関連問題への分析を拡張すること。
• 量子クエリ複雑度における多項式法を用いてタイトな下界と上界を確立すること。
• 対称的部分ブール関数に対する最適またはほぼ最適な境界を証明する多項式パラダイムの力を示すこと。

提案手法

• 対称的部分ブール関数に多項式法を適用し、そのような関数を近似する実多変数多項式の次数の下界を用いる。
• パトゥリの結果の一般化を用いて、対称関数を近似する多項式の次数の下界を導出する。
• 多項式次数の下界を多項式法フレームワークを介して量子クエリ複雑度の下界に変換する。
• グローバー探索にインspiredされた量子アルゴリズムを用いて上界を構築し、O((1/ε) log(1/ε) log log(1/ε)) クエリを達成するように最適化する。
• k 番目の最小要素や平均の近似といった問題の分析を、中央値近似問題に還元することで拡張する。
• 境界が比較木モデルおよび量子クエリモデルの両方でタイトであることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数の成功確率で ε-近似中央値を計算するために必要な最小の量子クエリ数は何か？
• RQ2 中央値の近似における量子クエリ複雑度は古典的複雑度と比べてどのように異なり、著しく改善可能か？
• RQ3 多項式法を拡張して、k 番目の最小要素や平均といった他の対称統計の近似に対する下界を導出可能か？
• RQ4 ブール関数における 1 の数の近似の最適量子クエリ複雑度は何か？
• RQ5 中央値近似の下界を量子アルゴリズムが達成可能か、もしそうならどの程度の効率で達成可能か？

主な発見

• 任意の量子アルゴリズムが定数の成功確率 1/2 よりも大きい状態で ε-近似中央値を計算するには、Ω(min{1/ε, n}) クエリの下界が示された。
• ε-近似中央値を計算するには、グローバーの既存のアルゴリズムを改善した O((1/ε) log(1/ε) log log(1/ε)) クエリの上界が達成された。
• 上界が多項式対数因子の範囲で下界と一致することから、下界が本質的に最適であることが示された。
• 同じ手法により、k 番目の最小要素、数列の平均、およびブール関数における 1 の数の近似についてもタイトな境界が得られた。
• 結果は量子クエリモデルおよび古典的比較木モデルの両方で有効である。
• 多項式法は、複数の対称的統計的問題に対してほぼ最適な境界をもたらす統一的なフレームワークを提供する。