[論文レビュー] The single equality $A^{*n}A^n = (A^*A)^n$ does not imply the quasinormality of weighted shifts on rootless directed trees

Paweł Pietrzycki|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意の整数 $ n \geq 2 $ に対して、1つの分岐頂点を持つ根なし有向木上に、有界で準正規でない重み付きシフトを構成し、単一の等式 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $ を満たすことを示している。これにより、根なし設定においてこの条件が準正規性を意味しないことが明らかになる。さらに、このような例が $ \sigma $-有限測度空間上の $ L^2 $-空間における合成作用素のクラス内にも存在することを示している。

ABSTRACT

It is proved that each bounded injective bilateral weighted shift $W$ satisfying the equality $W^{*n}W^{n}=(W^{*}W)^{n}$ for some integer $n\geq 2$ is quasinormal. For any integer $n\geq 2$, an example of a bounded non-quasinormal weighted shift $A$ on a rootless directed tree with one branching vertex which satisfies the equality $A^{*n}A^{n}=(A^{*}A)^{n}$ is constructed. It is also shown that such an example can be constructed in the class of composition operators in $L^2$-spaces over $σ$-finite measure spaces.

研究の動機と目的

• 根なし有向木上の重み付きシフトについて、単一の等式 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $ が準正規性を意味するか否かという未解決問題を解消すること。
• 固定された $ n \geq 2 $ に対して、1つの分岐頂点を持つ根なし有向木上に、有界で非準正規な重み付きシフトを明示的に構成し、等式を満たすこと。
• この構成を $ \sigma $-有限測度空間上の $ L^2 $-空間における合成作用素のクラスへ拡張すること。
• 有界かつ単射な両側重み付きシフトでは、同じ等式が準正規性を意味することという既知の事実と対比すること。

提案手法

• 再帰関係を用いて定義される重みの列 $ \{\gamma_k\}_{k=0}^\infty $ を用いて、1つの分岐頂点を持つ根なし有向木 $ T_{\infty} $ 上に重み付きシフト $ S_\lambda $ を構成する。
• パrameters $ q \in \mathbb{Q} \cap (0,1) $ および $ c \in \mathbb{Q} \cap (0,\infty) $ を満たすように、$ k \in \mathbb{N} $ に対して $ \alpha_k = \sqrt{k^{n-1} q^{k-1}} $ および $ \beta_k = \sqrt{\frac{1}{k} c^{\frac{1}{n-1}}} $ を定義する。
• 条件 (5.10) および (5.11) を課し、$ (S_\lambda^* S_\lambda)^n = S_\lambda^{*n} S_\lambda^n $ であるが、すべての $ p \neq n $ に対して $ (S_\lambda^* S_\lambda)^p \neq S_\lambda^{*p} S_\lambda^p $ であることを保証する。このために、$ S_{-1}(q) = -\frac{\ln(1-q)}{q} $ の超越性を利用する。
• すべての非ゼロ重みを持つ根なし有向木上の重み付きシフトは、$ L^2 $-空間における合成作用素とユニタリ同値であるという事実を用い、例をそのクラスへ移行可能である。
• 命題 5.1 に従う再帰関係を用いて、列 $ \{\gamma_k\} $ を定義し、有界性および構成に不可欠な代数的性質を保証する。
• 補題 5.2 および系 3.2 を用いて、ある種の和 $ S_m(q) $ が代数的または超越的であることを示し、非準正規性の証明における背理法的議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数 $ n \geq 2 $ に対して、根なし有向木上の重み付きシフトについて、単一の等式 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $ が準正規性を意味するか？
• RQ2 1つの分岐頂点を持つ根なし有向木上に、有界で非準正規な重み付きシフトが、ある $ n \geq 2 $ に対して $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $ を満たすことは可能か？
• RQ3 $ \sigma $-有限測度空間上の $ L^2 $-空間における合成作用素のクラス内に、このような例を構成することは可能か？
• RQ4 有界かつ単射な両側重み付きシフトと根なし有向木上の重み付きシフトの間で、等式 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $ の振る舞いにはどのような違いがあるか？
• RQ5 等式が唯一の $ n $ のみで成り立つように保証するためには、系列 $ S_m(q) $ のどのような代数的および超越的性質が必要か？

主な発見

• 任意の整数 $ n \geq 2 $ に対して、1つの分岐頂点を持つ根なし有向木上に、有界で非準正規な重み付きシフト $ A $ が存在し、$ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $ を満たす。
• 構成されたシフトは、すべての $ p \in \{2,3,\ldots\} \setminus \{n\} $ に対して $ (A^*A)^p \neq A^{*p}A^p $ を満たすため、この等式がこの設定において準正規性を意味しないことが証明される。
• 列 $ \alpha_k = \sqrt{k^{n-1} q^{k-1}} $ および $ \beta_k = \sqrt{\frac{1}{k} c^{\frac{1}{n-1}}} $ を用いて構成され、$ q \in \mathbb{Q} \cap (0,1) $、$ c \in \mathbb{Q} \cap (0,\infty) $ であり、$ (S_{n-1}(q))^n = c S_0(q) $ および $ c^{k/(n-1)} \notin \mathbb{Q} $（$ k = 1,\ldots,n-2 $）を満たすパrameters が使用される。
• $ \{\gamma_k\}_{k=0}^\infty $ は再帰によって定義され、有界かつ代数的数から成り、重み付きシフトが $ \ell^2(V_\infty) $ 上で有界かつ適切に定義されることを保証する。
• 構成は $ S_{-1}(q) = -\frac{\ln(1-q)}{q} $ の超越性に依存しており、これが $ p = n+1 $ または $ p > n+1 $ に対して等式が成り立つと仮定すると矛盾が生じるため、このような場合が除外される。
• ユニタリ同値性を用いて、例は $ L^2 $-空間における合成作用素へ拡張可能であり、このような作用素が準正規でないにもかかわらず単一の等式を満たす可能性があることを示している。