[论文解读] The Sorting Buffer Problem is NP-hard

Ho-Leung Chan, Nicole Megow+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2010

Optimization and Search Problems参考文献 12被引用 9

一句话总结

本文通过从3-Partition问题约化，证明了离线排序缓冲区问题为NP难，解决了长期悬而未决的开放性问题。此外，本文还提出了一个缓冲区容量略大于原始大小两倍时的O(1)-近似算法，以及一个针对缓冲区大小为2的线性时间动态规划解法。

ABSTRACT

We consider the offline sorting buffer problem. The input is a sequence of items of different types. All items must be processed one by one by a server. The server is equipped with a random-access buffer of limited capacity which can be used to rearrange items. The problem is to design a scheduling strategy that decides upon the order in which items from the buffer are sent to the server. Each type change incurs unit cost, and thus, the cost minimizing objective is to minimize the total number of type changes for serving the entire sequence. This problem is motivated by various applications in manufacturing processes and computer science, and it has attracted significant attention in the last few years. The main focus has been on online competitive algorithms. Surprisingly little is known on the basic offline problem. In this paper, we show that the sorting buffer problem with uniform cost is NP-hard and, thus, close one of the most fundamental questions for the offline problem. On the positive side, we give an O(1)-approximation algorithm when the scheduler is given a buffer only slightly larger than double the original size. We also give a dynamic programming algorithm for the special case of buffer size two that solves the problem exactly in linear time, improving on the standard DP which runs in cubic time.

研究动机与目标

• 为解决离线排序缓冲区问题是否为NP难这一根本性开放问题。
• 为离线变体设计高效的近似算法，特别是当缓冲区容量仅略大于最优值时。
• 为小缓冲区尺寸（特别是缓冲区大小为2）设计更快的精确算法。
• 分析经典离线算法（如最长前向距离LFD）在近似保证背景下的局限性。

提出的方法

• 将NP难的3-Partition问题约化为排序缓冲区问题，以证明其NP难性。
• 提出一种基于LP舍入的O(1)-近似算法，该算法使用略大于原始容量两倍的缓冲区。
• 设计了一种针对缓冲区大小为2的动态规划算法，通过高效跟踪和更新缓冲区中的活跃颜色，实现线性时间复杂度。
• 使用摊销分析维护一组活跃颜色及其未来位置，从而在每一步实现常数时间操作。
• 采用反向重构技术，从动态规划表的最终状态恢复最优调度。
• 分析了最长前向距离（LFD）算法的性能，并构造了一个最坏情况实例，表明其近似比为Ω(k^{1/3})。

实验结果

研究问题

• RQ1 离线排序缓冲区问题是否为NP难？
• RQ2 当缓冲区容量仅略大于最优值时，能否在离线问题中获得常数因子近似？
• RQ3 是否存在针对小缓冲区尺寸（如大小为2）的显著更快的精确算法？
• RQ4 最长前向距离（LFD）算法在排序缓冲区问题中的近似比是多少？
• RQ5 鉴于NP难性结果，排序缓冲区问题是否为APX难？

主要发现

• 通过从3-Partition问题的约化，证明了离线排序缓冲区问题为NP难。
• 当缓冲区容量略大于原始大小两倍时，为离线问题设计了O(1)-近似算法。
• 针对缓冲区大小为2的动态规划算法时间复杂度为O(n)，显著优于标准的O(n^3)动态规划方法。
• 最长前向距离（LFD）算法的近似比至少为Ω(k^{1/3})，表明其无法提供常数因子近似。
• NP难性约化并非近似保持的，因此该问题是否为APX难仍为开放问题。
• 本文证明了排序缓冲区问题的最小化和最大化变体均为NP难，因为它们具有相同的最优解。