[論文レビュー] The strong Legendre condition and the well-posedness of mixed Robin problems on manifolds with bounded geometry

Bernd Ammann, Nadine Große+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有界幾何構造を備えた非コンパクトなリーマン多様体上における2階微分作用素に対する混合ロビン型境界値問題の適切性と正則性を確立する。強いレジェンドル条件、有界な係数、およびロビン作用素の一様正定性のもとで、$s \geq 0$ に対してソボレフ空間 $H^s(M;E)$ における解の存在、一意性、連続的依存性を証明し、古典的結果を有限幅および境界の分解を伴う非コンパクト設定に拡張する。

ABSTRACT

Let $M$ be a smooth manifold with boundary $\partial M$ and bounded geometry, $\partial_D M \subset \partial M$ be an open and closed subset, $P$ be a second order differential operator on $M$, and $b$ be a first order differential operator on $\partial M \smallsetminus \partial_D M$. We prove the regularity and well-posedness of the mixed Robin boundary value problem $$Pu = f \mbox{ in } M,\ u = 0 \mbox{ on } \partial_D M,\ \partial^P_νu + bu = 0 \mbox{ on } \partial M \setminus \partial_D M$$ under some natural assumptions. Our operators act on sections of a vector bundle $E o M$ with bounded geometry. Our well-posedness result is in the Sobolev spaces $H^s(M; E)$, $s \geq 0$. The main novelty of our results is that they are formulated on a non-compact manifold. We include also some extensions of our main result in different directions. First, the finite width assumption is required for the Poincaré inequality on manifolds with bounded geometry, a result for which we give a new, more general proof. Second, we consider also the case when we have a decomposition of the vector bundle $E$ (instead of a decomposition of the boundary). Third, we also consider operators with non-smooth coefficients, but, in this case, we need to limit the range of $s$. Finally, we also consider the case of uniformly strongly elliptic operators. In this case, we introduce a \emph{uniform Agmon condition} and show that it is equivalent to the Gårding inequality. This extends an important result of Agmon (1958).

研究の動機と目的

• 非コンパクトな多様体に有界幾何構造を備えた境界値問題の適切性理論を拡張すること。
• 強いレジェンドル条件を満たす2階作用素に対する混合ディリクレ＝ロビン問題の正則性と強制性を確立すること。
• 有限幅を有する非コンパクト多様体に対して、ポアンカレの不等式およびガーディングの不等式を一般化すること。
• 境界上での一様アグモン条件を用いて強制性を特徴づけ、ソボレフ空間内での可解性を保証すること。

提案手法

• 多様体 $M$ の境界を有するベクトル bundle $E$ 上で定義された2階微分作用素 $P$ と1階境界作用素 $b$ を用いて、混合ロビン問題を定式化する。
• 境界条件を設定：$\partial_D M$ でディリクレ型、$\partial_R M$ でロビン型、$\partial_N M$ でノイマン型とし、$\partial_D M \sqcup \partial_R M \sqcup \partial_N M = \partial M$ を満たす。
• 一様楕円性を保証するため、強いレジェンドル条件を適用し、有界幾何構造を用いて係数および曲率を制御する。
• 有限幅仮定の下で一様ポアンカレ不等式を導出し、強制性に不可欠な役割を果たす。
• 一様アグモン条件を用いて強制性を確立し、ガーディングの不等式および問題の適切性と関連付ける。
• 分区単位と境界点における係数の凍結を用いた局所的モデル還元を用いて、グローバルな強制性および正則性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界幾何構造を備えた非コンパクト多様体上における混合ロビン問題が、どのような幾何的および解析的条件下で適切性を満たすか。
• RQ2 強いレジェンドル条件が非コンパクト設定において一様楕円性と強制性をどのように保証するか。
• RQ3 有限幅条件がポアンカレ不等式の確立およびソボレフ空間内での可解性に果たす役割は何か。
• RQ4 非コンパクト多様体上における強制作用素に対して、一様アグモン条件とガーディングの不等式がどのように同値であるか。
• RQ5 本理論は、非滑らかな係数を有する作用素や分解可能なベクトルバンドルへと拡張可能か。

主な発見

• すべての $s \geq 0$ に対して、$H^s(M;E)$ 内で混合ロビン問題は適切であり、解は一意的かつデータに連続的に依存する。
• 有界幾何構造および有限幅を有する多様体上で、一様ポアンカレ不等式が成り立ち、新規の一般的手法により証明された。
• 作用素 $\tilde{P}$ の強制性は境界上の一様アグモン条件と同値であり、可解性を保証する。
• 強いレジェンドル条件により一様楕円性が保証され、系への拡張および非滑らかな係数への応用が可能になる。
• 形式的自己随伴性および $W^{1,\infty}$ 係数のもとで、$P$ の自己随伴性が確立され、境界条件によって定義された定義域が得られる。
• 一様アグモン条件とガーディングの不等式の同値性が証明され、古典的結果が非コンパクト設定に一般化された。