[论文解读] The structure of a local embedding and applications to Chern classes of weighted blow-ups

Anca Mustaţǎ, Andrei Mustaţǎ|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过目标堆栈 $X$ 的一个 étale、普遍闭且满射的覆盖，引入了一个非分离的 Deligne–Mumford 堆栈 $X'$，使得即使映射 $X' \to X$ 不是正规的，也能在 Chow 群上实现上推。该构造将正规局部嵌入分解为 $X'$ 上的闭嵌入，从而可通过到加权法丛的形变和局部化技术计算加权 blow-up 的 Chern 类，该方法在稳定映射的模空间中有应用。

ABSTRACT

For a proper local embedding between two Deligne--Mumford stacks Y and X, we find, under certain mild conditions, a new (possibly non-separated) Deligne--Mumford stack X', with an etale, surjective and universally closed map to the target X, and whose fiber product with the image of the local embedding is a finite union of stacks with corresponding etale, surjective and universally closed maps to Y. Moreover, a natural set of weights on the substacks of X' allows the construction of a universally closed push-forward, and thus a comparison between the Chow groups of X' and X. We apply the construction above to the computation of the Chern classes of a weighted blow-up along a regular local embedding via deformation to a weighted normal cone and localization. We describe the stack X' in the case when X is the moduli space of stable maps with local embeddings at the boundary. We apply the methods above to find the Chern classes of the stable map spaces.

研究动机与目标

• 将 Chern 类和 Chow 群理论扩展至加权 blow-up，通过在非分离堆栈上将正规局部嵌入分解为闭嵌入来实现。
• 克服局部构造在捕捉全局不变量（如 Chern 类和 Chow 环结构）方面的局限性。
• 为正规局部嵌入情境下提供 Riemann–Roch 型定理的框架，尤其适用于模问题。
• 将该方法应用于计算带有边界除子的稳定映射模空间的 Chern 类。

提出的方法

• 通过一个在 $g(Y)$ 外为同构的 étale、普遍闭且满射的映射 $X' \to X$ 构造一个非分离的 Deligne–Mumford 堆栈 $X'$。
• 为所选的 $X$ 的一个局部坐标图定义一个与局部嵌入 $g: Y \to X$ 相关的局部嵌入网络，通过一组图表和粘合数据编码该局部嵌入的结构。
• 为 $X'$ 的子堆栈分配一个权函数 $w$，该函数源自正规性的赋值准则，从而定义一个普遍闭的上推 $p_*: A_*(X') \to A_*(X)$。
• 使用到加权法丛的形变和局部化技术计算加权 blow-up 的 Chern 类。
• 建立与局部嵌入 $g: Y \to X$ 相关的堆栈网络的扩展 Chow 环与 $A_*(X')$ 之间的同构，使得全局不变量可从局部数据计算得出。
• 将该框架应用于模空间 $\overline{M}_{0,m}(\mathbb{P}^n,d)$，将 $X'$ 识别为带有标记分量的稳定映射的堆栈。

实验结果

研究问题

• RQ1 当映射不是正规时，如何为一个正规局部嵌入 $g: Y \to X$ 构造 Chow 群上的普遍闭上推？
• RQ2 非分离堆栈在解决加权 blow-up 的全局不变量（如 Chern 类）方面起到什么作用？
• RQ3 能否通过一个堆栈网络编码局部嵌入的结构，以恢复底空间的 Chow 群？
• RQ4 子堆栈 $X'$ 上的权函数如何与赋值准则及周期的上推相关联？
• RQ5 在稳定映射模空间的情形下，堆栈 $X'$ 的模理论解释是什么？

主要发现

• 堆栈 $X'$ 提供了一个从 $A_*(X')$ 到 $A_*(X)$ 的普遍闭上推 $p_*$，即使 $X' \to X$ 不是正规的，也能通过 $p_*$ 恢复 $A_*(X)$。
• 与局部嵌入 $g: Y \to X$ 相关的堆栈网络的扩展 Chow 环同构于 $A_*(X')$，使得全局不变量可从局部数据计算得出。
• 对于模空间 $\overline{M}_{0,m}(\mathbb{P}^n,d)$，堆栈 $X'$ 被识别为 $\overline{M}^\prime_{0,m}(\mathbb{P}^n,d)$，其模问题以带有标记分量的稳定映射的形式表述。
• 沿正规局部嵌入的加权 blow-up 的 Chern 类通过到加权法丛的形变和局部化技术计算得出，利用了 $X'$ 上的上推。
• 该构造通过确保不同图表间 étale 坐标图的相容性，解决了 blow-up 中的对称性破缺问题，避免了全局 blow-up 构造的失败。
• 加权射影堆栈 $\mathcal{P}[w_0:\dots:w_n]$ 的切丛通过涉及权 $w_i$ 的变换规则全局定义，其导数在加权齐次性下变换。