[論文レビュー] The Symmetric Group Defies Strong Fourier Sampling: Part II

Cristopher Moore, Alexander Russell|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、グラフ同型性を解くために中心的な役割を果たす対称群 $S_{2n}$ における隠れ部分群問題（HSP）が、1 または 2 レジスタのコセット状態に対して任意の多項式回の実験を用いて、エンタングルド測定を許容しても、有効に解けないことを示している。主な結果は、測定結果が隠れ部分群の共軛に対してほとんど独立であるため、標準的な量子フーリエサンプリングはこの問題に対して効果を発揮しないことである。

ABSTRACT

Part I of this paper showed that the hidden subgroup problem over the symmetric group--including the special case relevant to Graph Isomorphism--cannot be efficiently solved by strong Fourier sampling, even if one may perform an arbitrary POVM on the coset state. In this paper, we extend these results to entangled measurements. Specifically, we show that the hidden subgroup problem on the symmetric group cannot be solved by any POVM applied to pairs of coset states. In particular, these hidden subgroups cannot be determined by any polynomial number of one- or two-register experiments on coset states.

研究の動機と目的

• 既知の効率的 HSP 解法と対称群 HSP の困難さの間のギャップを埋めること。
• 複数のコセット状態に対するエンタングルド測定が、強力なフーリエサンプリングの制限を克服できるかどうかを調査すること。
• 2 レジスタのエンタングルド測定でさえも、$S_{2n}$ における隠れ部分群が多項式回の実験では検出できないことを示すこと。
• 一般測定モデル下でも、標準的な量子フーリエ変換手法が対称群に対して失敗することを確立すること。
• HSP over $S_{2n}$ を解くには $\Omega(n\log n)$ 個のコセット状態が必要であり得ることを示唆する根拠を提供すること。

提案手法

• 固定点をもたない対合によって生成される部分群 $H$ を持つ $G = S_{2n}$ に対するコセット状態 $\rho_H = \frac{1}{|G|}\sum_{c\in G}|cH\rangle\langle cH|$ を分析する。
• 任意のエンタングルド POVM に対して、$\rho_{H^g} \otimes \rho_{H^g}$ 上での測定結果の分布を研究する。
• 対称群の表現論に焦点を当て、既約表現およびそのテンソル積への分解を扱う。
• 集中不等式と確率的解析を用いて、測定結果の確率分布が $g$ に対してほぼ一様で、かつ共軛にほとんど依存しないことを示す。
• $\ell_1$-距離を用いた誤差評価により、実際の測定分布 $P_m$ と一様分布 $U$ を比較し、高確率で $\|P_m - U\|_1 = o(n^{-c})$ を示す。
• ベクトル $\mathbf{b} \otimes \mathbf{b}$ が低次元表現に射影されることを活用し、共軛の区別可能性が制限されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称群 $S_{2n}$ の 2 つのコセット状態に対するエンタングルド測定は、隠れ部分群 $H$ の異なる共軛を区別できるか？
• RQ2 2 レジスタのコセット状態に対する $\text{poly}(n)$ 回の実験に基づく多項式時間の量子アルゴリズムが、$S_{2n}$ 上の HSP を解けるか？
• RQ3 $\rho_{H^g} \otimes \rho_{H^g}$ 上の測定結果の分布は共軛 $g$ に依存するか？
• RQ4 $H$ が固定点をもたない対合によって生成される非正規部分群である場合、コセット状態に対する標準的量子フーリエ変換は $S_{2n}$ 内の隠れ部分群 $H$ を検出できるか？
• RQ5 任意の測定が $S_{2n}$ 上の HSP を解くために必要なコセット状態の最小数は何か？ これは $\Omega(n\log n)$ に比例するか？

主な発見

• 2 レジスタのコセット状態 $\rho_{H^g} \otimes \rho_{H^g}$ 上での測定結果の分布は、共軛 $g$ に対してほとんど依存せず、高確率で $\|P_m - U\|_1 < 8e^{-(\alpha/6)\sqrt{n}/\ln n}$ を満たす。
• 1 または 2 レジスタのコセット状態に対して多項式回の実験を用いても、$S_{2n}$ 内の隠れ部分群 $H$ を非無視確率で特定することはできない。
• 測定結果の確率分布は、特定の既約表現に条件付けられた場合でもほぼ一様である。
• 解析により、『悪い』または『低確率』集合の基底ベクトルを観測する確率が指数的に小さいことが示され、有用な区別可能性がないことが示された。
• 結果は強力なフーリエサンプリングを越えて、2 レジスタに対する任意のエンタングルド測定戦略にも拡張され、対称群 HSP の理解における主要なギャップを埋めた。
• 本稿は、$\Omega(n\log n)$ 個のコセット状態が必要であると予想しており、これは根本的な計算複雑性の障壁を示唆する。