[论文解读] The Target Set Selection Problem on Cycle Permutation Graphs, Generalized Petersen Graphs and Torus Cordalis

Chun-Ying Chiang, Liang-Hao Huang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2011

Complex Network Analysis Techniques参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文研究了在三种规则网络拓扑结构——环排列图、广义彼得森图和绳结环面图上，严格多数阈值下的目标集选择问题。研究建立了激活所有顶点所需的最小种子集大小的紧致界，证明了当 $m \equiv 0 \pmod{3}$ 时，环排列图 $C_m \oslash C_n$ 的最小种子集大小恰好为 $\frac{mn}{3} + 1$；在其他情况下，提供了形式为 $\frac{mn}{3} + \frac{m}{12} + c$ 的上界，其中 $c$ 为小常数。结果通过显式构造影响序列并基于 $m$ 和 $n$ 的模运算性质进行案例分析得出。主要贡献在于这些结构化图在严格多数动态下的最小目标集大小的精确或紧致界。

ABSTRACT

In this paper we consider a fundamental problem in the area of viral marketing, called T{\scriptsize ARGET} S{\scriptsize ET} S{\scriptsize ELECTION} problem. In a a viral marketing setting, social networks are modeled by graphs with potential customers of a new product as vertices and friend relationships as edges, where each vertex $v$ is assigned a threshold value $θ(v)$. The thresholds represent the different latent tendencies of customers (vertices) to buy the new product when their friend (neighbors) do. Consider a repetitive process on social network $(G,θ)$ where each vertex $v$ is associated with two states, active and inactive, which indicate whether $v$ is persuaded into buying the new product. Suppose we are given a target set $S\subseteq V(G)$. Initially, all vertices in $G$ are inactive. At time step 0, we choose all vertices in $S$ to become active. Then, at every time step $t>0$, all vertices that were active in time step $t-1$ remain active, and we activate any vertex $v$ if at least $θ(v)$ of its neighbors were active at time step $t-1$. The activation process terminates when no more vertices can get activated. We are interested in the following optimization problem, called T{\scriptsize ARGET} S{\scriptsize ET} S{\scriptsize ELECTION}: Finding a target set $S$ of smallest possible size that activates all vertices of $G$. There is an important and well-studied threshold called strict majority threshold, where for every vertex $v$ in $G$ we have $θ(v)=\lceil{(d(v) +1)/2} ceil$ and $d(v)$ is the degree of $v$ in $G$. In this paper, we consider the T{\scriptsize ARGET} S{\scriptsize ET} S{\scriptsize ELECTION} problem under strict majority thresholds and focus on three popular regular network structures: cycle permutation graphs, generalized Petersen graphs and torus cordalis.

研究动机与目标

• 确定在社会网络中，基于严格多数阈值动态，能够激活所有顶点的最小目标集大小。
• 分析在三种特定正则图族——环排列图、广义彼得森图和绳结环面图上的目标集选择问题。
• 为这些图类在严格多数阈值下的最小种子集大小提供精确或紧致上界。
• 通过逐案分析，构建可证明所推导界可行的影响序列。

提出的方法

• 作者将病毒式营销建模为图上的离散时间激活过程，其中顶点在至少一半邻居（向上取整）处于激活状态时被激活。
• 他们为每个顶点 $v$ 定义严格多数阈值为 $\theta(v) = \lceil (d(v)+1)/2 \rceil$，确保激活需要超过半数的活跃邻居。
• 对于每类图，他们显式构造了目标集 $S$ 及相应的说服序列 $\alpha$，以展示所有顶点可逐步被激活。
• 他们基于 $m$ 和 $n$ 对 3 和 4 取模的值进行案例分析，将问题划分为子情况以处理不同的奇偶性和余数。
• 他们使用组合构造和顶点集的并集来构建最小种子集，并仔细追踪激活顺序以确保正确性。
• 他们通过图的结构性质和激活序列上的归纳推理，结合附录中的图示，证明了紧致界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在严格多数阈值下，环排列图 $C_m \oslash C_n$ 所需的最小目标集大小是多少？
• RQ2 当 $m \equiv 0 \pmod{3}$ 时，最小种子集大小如何随参数 $m$ 和 $n$ 变化？
• RQ3 能否为广义彼得森图和绳结环面图在严格多数动态下的最小目标集大小建立紧致上界？
• RQ4 这些图的哪些结构或组合性质使得最小目标集大小得以实现或受到限制？
• RQ5 对 $m$ 和 $n$ 的模运算条件如何影响最优或近似最优目标集的构造？

主要发现

• 对于满足 $m \equiv 0 \pmod{3}$ 且 $n \geq 2$ 的环排列图 $C_m \oslash C_n$，最小种子集大小恰好为 $\frac{mn}{3} + 1$，该结果为紧致界，并通过构造性案例分析得到证明。
• 当 $m \not\equiv 0 \pmod{3}$ 时，本文建立了最小种子集大小的上界 $\frac{mn}{3} + \frac{m}{12} + \frac{3}{2}$，其取决于 $m$ 对 12 取模的余数。
• 当 $m \equiv 0 \pmod{3}$ 且 $n$ 为偶数时，最小种子集大小为 $\frac{mn}{3} + 1$，其构造基于结构化的顶点集并集，并通过验证的说服序列实现。
• 当 $m \equiv 0 \pmod{3}$ 且 $n$ 为奇数且至少为 5 时，最小种子集大小仍为 $\frac{mn}{3} + 1$，但采用不同的但同样有效的构造和激活序列。
• 本文为所有情况提供了目标集和说服序列的显式构造，包括详细集合如 $S_1, S_2, S_3, S_4$ 和序列 $\alpha_1, \dots, \alpha_8$，并验证其可激活所有顶点。
• 结果表明，最小种子集大小高度依赖于 $m$ 和 $n$ 的模运算性质，且图的结构使得在严格多数阈值下可精确控制影响传播。