[論文レビュー] The Time Inversion for Modified Oscillators

Ricardo Cordero–Soto, Sergeĭ K. Suslov|ArXiv.org|Aug 22, 2008

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 47被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、n次元空間における修正調和振動子に対する正確に解ける時間に依存するシュレーディンガー方程式の新しいクラスを導入し、時間反転（時間の向きを逆にする）が、系の完全な動的再構成を要することを示している。主な結果は、元の解における空間座標を入れ替えることで得られる伝搬関数を持つ双対ハミルトニアン系の構築であり、時間反転された力学と、複素時間に依存する係数によって支配される修正調和振動子ポテンシャルの間の深い対称性を明らかにしている。

ABSTRACT

We discuss a new completely integrable case of the time-dependent Schroedinger equation in $R^n$ with variable coefficients for a modified oscillator, which is dual with respect to the time inversion to a model of the quantum oscillator recently considered by Meiler, Cordero-Soto, and Suslov. A second pair of dual Hamiltonians is also found in the momentum representation. Our examples show that in mathematical physics and quantum mechanics a change in the direction of time may require a total change of the system dynamics in order to return the system back to its original quantum state. Particular solutions of the corresponding Schroedinger equations are also obtained. A Hamiltonian structure of the classical integrable problem and its quantization are also discussed.

研究の動機と目的

• R^nにおける修正調和振動子に対する正確に解ける時間に依存するシュレーディンガー方程式の新しいクラスを特定・構築すること。
• 時間反転下で二つのハミルトニアン系の双対性を確立し、時間反転が系の動的構造の完全な変化を必要とすることを示すこと。
• 座標の入れ替えと対称性手法を用いて、これらの系の明示的な伝搬関数（グリーン関数）を導出すること。
• 古典的類似物のハミルトニアン構造を調べ、その正準量子化を行い、古典的可積分性と量子的可解性の関係を結びつけること。
• 非線形シュレーディンガー方程式に対応する特定の解を構築し、その大域的存在性と一意性を解析すること。

提案手法

• 時間発展演算子は、特性リッカチ方程式の解を用いた二次ハミルトニアンの分類に基づく手法により導出される。
• 元のモデル (1.2) の伝搬関数が、核内における座標 x と y の入れ替えによって双対形 (1.7) に変換され、時間反転双対性が確立される。
• 著者らは、a† = (1/i√2)(∂/∂x − x) および a = (1/i√2)(∂/∂x + x) の形の生成・消滅演算子を用い、正確な解の構築を可能としている。
• 双対ハミルトニアンは H(τ) = ½(aa† + a†a) + ½e^{−i arctan(2τ)}a² + ½e^{i arctan(2τ)}(a†)² で表され、τ = ½ sinh(2t) により、複素時間に依存する結合項が導入される。
• 古典的類似物は、一般二次ハミルトニアン H = a(t)p² + b(t)q² + 2d(t)pq から導出され、係数が変化する2階常微分方程式が得られる。
• 正準量子化手順では、古典変数を q → x、p → i⁻¹∂/∂x に写像し、[x,p] = i の交換関係を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間反転された修正調和振動子ハミルトニアンをどのように構築すれば、系が元の量子状態に戻るようになるか？
• RQ2 時間反転系の伝搬関数の明示的形は何か？ そして、元の伝搬関数とどのように関係しているか？
• RQ3 SU(1,1)対称性は、n次元の修正調和振動子に対する正確解を生成するために果たす役割は何か？
• RQ4 修正調和振動子の古典的運動方程式は、正準量子化によってどのように量子シュレーディンガー方程式と結びつくか？
• RQ5 時間反転は、係数が時間に依存する量子系の力学にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 時間反転系の伝搬関数は、元の伝搬関数における x と y の座標を入れ替えることで得られ、前向きと逆向きの時間における力学の間の双対性が確認された。
• 時間に依存する複素結合係数 e^{±i arctan(2τ)} を持つ双対ハミルトニアン H(τ) は、R^nにおける完全可積分な量子系をもたらす。
• 修正調和振動子の古典的運動方程式は、2階常微分方程式として ÿ + 2 tan t ẏ − 2y = 0 および ÿ − 2 tanh t ẏ + 2y = 0 として導出され、三角関数的および双曲的ケースに対応する。
• 古典的ハミルトニアン構造の正準量子化により、量子ハミルトニアン (1.2) と (1.7) が得られ、古典的可積分性と量子的可解性の対応関係が裏付けられた。
• 非線形シュレーディンガー方程式の特定解は、正確な伝搬関数を用いて構築され、その大域的存在性と一意性の研究における有効性が示された。
• 本稿は、二次伝搬関数に隠された対称性を明らかにした。ここで時間反転は、時間の符号反転にとどまらず、系の動的構造そのものの完全な変換を引き起こす。