[论文解读] The traveling salesman problem: A Linear programming formulation

Moustapha Diaby|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2006

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 9被引用 28

一句话总结

本文提出了一种基于网络流方法的多项式规模线性规划公式，用于解决旅行商问题（TSP）。其主要贡献在于提出了一种新颖的公式，声称可在多项式规模内精确建模TSP，从而挑战了传统观点，即TSP无法通过线性规划在多项式时间内求解。

ABSTRACT

In this paper, we present a polynomial-sized linear programming formulation of the Traveling Salesman Problem (TSP). The proposed linear program is a network flow-based model. Numerical implementation issues and results are discussed. (The exposition and proofs are much more detailed in an edition which I wrote in collaboration with Dr. M.H. Karwan in 2012-2014 . That edition is available at http://users.business.uconn.edu/mdiaby/P=NPProofPapers/tspPaper.pdf)

研究动机与目标

• 开发一种多项式规模的线性规划模型，以精确表示旅行商问题。
• 挑战长期以来认为TSP无法被表述为多项式规模线性规划的信念。
• 利用网络流原理，提供一种理论严谨且计算上可行的公式。
• 回应并反驳先前声称否定该公式的反例。
• 为通过线性规划实现TSP的多项式时间求解奠定基础。

提出的方法

• 使用城市和边的有向图表示，将TSP表述为网络流问题。
• 引入二值变量表示边的选择，以及流变量以建模环游的连通性与子环路消除。
• 施加约束以确保流守恒，并保证每个城市恰好访问一次。
• 施加约束（2.11–2.15）以防止子环路并确保环游连通性。
• 使用一组紧凑的约束，在城市数量上以多项式规模建模TSP。
• 采用重表述技术，以确保解空间的整数性与正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 TSP能否在不使用指数规模约束的情况下，被表述为多项式规模的线性规划？
• RQ2 所提出的约束是否能有效消除子环路，同时保持多项式规模？
• RQ3 霍夫曼声称的反例在该公式的完整约束集下是否仍然有效？
• RQ4 基于网络流的线性规划能否精确建模TSP并实现多项式复杂度？
• RQ5 该公式是否意味着TSP可通过线性规划在多项式时间内求解？

主要发现

• 所提出的线性规划在城市数量上具有多项式规模，具体为n个城市时变量和约束均为O(n²)。
• 该公式包含一整套约束，可强制实现环游连通性与子环路消除。
• 本文通过证明霍夫曼的反例违反了约束2.11–2.15，从而驳回了该反例的有效性。
• 理论推导在各次修订中保持一致，v7版本确认了核心公式的正确性。
• 该模型被呈现为在线性规划框架内对TSP的完整且精确的表示。
• 该公式声称，若该线性规划可高效求解，则可为TSP提供一种多项式时间求解方法。