[論文レビュー] The Van den Bergh duality and the modular symmetry of a Poisson variety

Vasiliy Dolgushev|ArXiv.org|Dec 11, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、自明な正則バンドルを備えた滑らかなポアソン多様体のモジュラー類と変形量子化におけるファン・デン・ベルク双対性の間の明確な関係を確立する。$A_{\hbar}$ の量子化代数のファン・デン・ベルク双対的バイモジュールが $A_{\hbar}$ 自身と同型であるための必要十分条件は、ポアソン構造がユニモジュラーであることであることを証明し、モジュラー自己同型がモジュラーベクトル場から量子化された平坦な反変接続に由来することを示している。

ABSTRACT

We consider a smooth Poisson affine variety with the trivial canonical bundle over complex numbers. For such a variety the deformation quantization algebra A_h enjoys the conditions of the Van den Bergh duality theorem and the corresponding dualizing module is determined by an outer automorphism of A_h intrinsic to A_h. We show how this automorphism can be expressed in terms of the modular class of the corresponding Poisson variety. We also prove that the Van den Bergh dualizing module of the deformation quantization algebra A_h is free if and only if the corresponding Poisson structure is unimodular.

研究の動機と目的

• ポアソン多様体のモジュラー類と Hochschild (コ)ホモロジーにおけるファン・デン・ベルク双対性との関係を明確化すること。
• 変形量子化代数 $A_{\hbar}$ の双対的バイモジュールを、ポアソン構造のユニモジュラー性に基づいて特徴付けること。
• 変形量子化代数 $A_{\hbar}$ のモジュラー自己同型が、モジュラーベクトル場に関連する平坦な反変接続を量子化することで得られることを示すこと。
• ポアソン幾何におけるモジュラー対称性と非可換代数における双対性構造との間の明確な対応関係を確立すること。

提案手法

• バーツチン＝ウォルダムのバイモジュール量子化を用い、モジュラーベクトル場を変形量子化代数 $A_{\hbar}$ 上の導分へと持ち上げる。
• モジュラーベクトル場を用いて $A$-バイモジュール $A$ 上に平坦な反変接続を構成し、これを $A_{\hbar}$ 上のバイモジュール構造へと量子化する。
• ファン・デン・ベルク双対性定理を適用し、得られたバイモジュールが $A_{\hbar}$ の双対的バイモジュールとして同定されることを示す。
• $L_{\infty}$-準同型の枠組みとホモロジー的摂動理論を用いて、ポアソン的および量子化的設定におけるコホモロジー的データの関係を確立する。
• Baker-Campbell-Hausdorff 公式とホモトピー作用素を用いて、明示的な自己同型を構成し、その性質を検証する。
• $\diamond$-積と $\lambda_D$-作用を分析し、ポアソン構造がユニモジュラーであるとき、自己同型が内自己同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン多様体のモジュラー類は、変形量子化代数 $A_{\hbar}$ の双対的バイモジュールとどのように関係するか？
• RQ2 ファン・デン・ベルク双対的バイモジュールが $A_{\hbar}$ 自身と同型であるための条件は何か？
• RQ3 変形量子化されたポアソン多様体上の幾何的接続を量子化することで、$A_{\hbar}$ のモジュラー自己同型を構成できるか？
• RQ4 双対的バイモジュールが自由であるための必要十分条件は、ポアソン構造がユニモジュラーであることか？
• RQ5 モジュラーベクトル場が誘導する自己同型の明確な代数的構造は何か？

主な発見

• ファン・デン・ベルク双対的バイモジュールが $A_{\hbar}$ と同型であるための必要十分条件は、ポアソン構造がユニモジュラーであることである。
• 変形量子化代数 $A_{\hbar}$ のモジュラー自己同型は、モジュラーベクトル場に関連する平坦な反変接続の量子化として得られる。
• 量子化された接続から得られるバイモジュールは、まさに $A_{\hbar}$ のファン・デン・ベルク双対的バイモジュールに一致する。
• $w$ がポアソンベクトル場で $w_{\log}$ がその対数ハミルトニアン版であるとき、自己同型 $\exp({\cal D}_w + {\cal D}_{w_{\log}}) \circ \exp(-{\cal D}_w)$ は内自己同型である。
• 要素 $f \cdot \exp_{\diamond}(G)$ は微分 $D$ に関して閉じており、必要な性質を満たす量子化自己同型 $\widehat{f}$ の存在を保証する。
• $\widehat{f}$ を用いた双対的バイモジュールの構成は適切に定義されており、$\widehat{f}|_{\hbar = y^i = 0} = 0$ を満たすため、量子化プロセスにおける一貫性が保証される。