[論文レビュー] The Wellposedness of Path-dependent Multidimensional Forward-backward SDE

Kaitong Hu|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、経路に依存する多次元の前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）の適切な定義を、経路空間上のグローバルな分解確率場の構築によって確立する。局所的な解を接続するための特徴的BSDEを用い、特徴的BSDEの解の有界性を仮定することで、解の存在、一意性、安定性を証明する。

ABSTRACT

We study in this paper the wellposedness of path-dependent multidimensional forward-backward stochastic differential equations (FBSDE). By path-dependent we mean that the coefficients of the forward-backward SDE at time t can depend on the whole path of the forward process up to time t. These kinds of forward-backward SDE appear when solving path-dependent stochastic control problem by means of variational calculus. At the heart of our analysis is the construction of a decoupling random field on the path space. We first prove the existence and the uniqueness of decoupling field on small time interval. Then by introducing the characteristic BSDE, we show that a global decoupling field can be constructed by patching local solutions together as long as the solution of the characteristic BSDE remains bounded. Finally, we show that the solution of a path-dependent forward-backward SDE is stable.

研究の動機と目的

• 前向き過程の全過去の経路に依存する係数を持つ、経路に依存する多次元の前向き・後向きSDEに対して、解の存在と一意性を確立すること。
• このようなFBSDEを解くために不可欠な、経路空間上でのグローバルな分解場の構築という課題に取り組むこと。
• 摂動に対する解の安定性を保証すること。これは、確率的制御や数値解析への応用において極めて重要である。
• 古典的なFBSDE理論を、変分法や確率的制御問題に関連する経路に依存する設定に拡張すること。

提案手法

• FBSDEの前向きおよび後向き成分を結びつけるために、経路空間上に分解確率場を構築すること。
• 固定点法を経路空間上で用いて、小さな時間間隔における分解場の局所的解の存在と一意性を証明すること。
• 時間経過に伴う分解場の進化を追跡するために、特徴的後向き確率微分方程式（BSDE）を導入すること。
• 特徴的BSDEの解の有界性を、局所的な分解場をグローバル解に接続するための重要な条件として用いること。
• 摂動が係数や初期経路にわずかに与えられた場合に、解の変化が小さくなることを示す安定性解析を適用すること。
• 連続な経路空間上のパスワイズ解析と確率積分法を用いて、問題の非マルコフ的性質に対処すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経路に依存する多次元FBSDEが、どのような条件下で一意な解をもつのか。
• RQ2 局所解が小さな時間間隔でのみ利用可能な場合、グローバルな分解場はどのように構築できるか。
• RQ3 特徴的BSDEの解が、分解場のグローバルな存在を保証するために果たす役割は何か。
• RQ4 係数や初期経路の摂動に対して、経路に依存するFBSDEの解は安定か。
• RQ5 分解場法は、高次元における非マルコフ的・経路に依存する係数へと拡張可能か。

主な発見

• 小さな時間間隔において、一意な分解場が局所的に存在し、FBSDEの局所的解法が可能になる。
• 特徴的BSDEの解が有界である限り、局所解を貼り合わせることでグローバルな分解場を構築できる。
• 経路に依存するFBSDEの解は、係数や初期経路の摂動に対して安定である。
• 特徴的BSDEは、分解場のグローバルな拡張を制御するための重要なツールである。
• この手法は多次元系に適用可能であり、非マルコフ的・経路に依存する係数を扱える。
• 結果として得られた理論的基盤は、変分法を用いた経路に依存する確率的制御問題の解法に貢献する。