[論文レビュー] Thom polynomials of Morin singularities and the Green-Griffiths-Lang conjecture

Gergely Bérczi|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、モリン特異点のソーム多項式とグリーン＝グリフィス＝ラング（GGL）予想との間の関係を、代数的モデルに基づくモリン特異点を用いてコンパクト化された不変ジャンプ微分形式バンドルを構成することで確立する。同定理は、等配分局所化を用いた反復留数公式を導出し、モリン特異点のソーム多項式に関する正値性予想が成り立つ限り、GGL予想が次数 > 2n¹⁰ の一般な射影的超曲面に対して成り立つことを証明する。

ABSTRACT

The Green-Griffiths-Lang conjecture says that for every complex projective algebraic variety $X$ of general type there exists a proper algebraic subvariety of $X$ containing all nonconstant entire holomorphic curves $f:\mathbb{C} o X$. We construct a compactification of the invariant jet differentials bundle over complex manifolds motivated by an algebraic model of Morin singularities and we develop an iterated residue formula using equivariant localisation for tautological integrals over it. We show that the polynomial GGL conjecture for a generic projective hypersurface of degree $\mathrm{deg}(X)>2n^{10}$ follows from a positivity conjecture for Thom polynomials of Morin singularities.

研究の動機と目的

• グリーン＝グリフィス＝ラング予想とモリン特異点のソーム多項式との間の関係を確立すること。
• モリン特異点の代数的モデルを用いて、不変ジャンプ微分形式バンドルの新しいコンパクト化を構築すること。
• コンパクト化されたバンドル上のタウトロジカル積分に適応可能な反復留数公式を、等配分局所化を用いて構築すること。
• 一般な超曲面に対するGGL予想を、モリン特異点のソーム多項式に関する正値性予想に還元すること。
• GGL予想のための多項式次数の上限を提示し、従来の指数的上限を改善すること。

提案手法

• 本稿は、モリン特異点の代数的モデルに基づいて、コンパクト化された不変ジャンプ微分形式バンドルを構築する。
• 等配分局所化技術を適用し、コンパクト化されたバンドル上のタウトロジカル積分に対して反復留数公式を導出する。
• この手法では、チャーン類と単項式係数を用いて、モリン特異点のソーム多項式の構造を分析する。
• 著者らは、留数公式を用いて、ソーム多項式の係数とコンパクト化されたバンドル上の交差数を関連付ける。
• ジャンプ微分形式のグローバルセクションの存在を、これらの係数に関する正値性条件に還元する。
• 指数的上限を改善するために、デメールリ＝サメのタワーに代わるより効率的な代数的モデルを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モリン特異点のソーム多項式に関する正値性予想は、十分に高い次数の一般な超曲面に対するGGL予想を示唆するか？
• RQ2 等配分局所化による反復留数公式は、コンパクト化された不変ジャンプ微分形式バンドル上のタウトロジカル積分に効果的に適用可能か？
• RQ3 モリン特異点の代数的モデルは、正則曲線の代数的退化を確立する観点で、デメールリ＝サメのタワーに比べてより効率的か？
• RQ4 正値性のソーム多項式に還元された場合、GGL予想の鋭い次数上限は何か？
• RQ5 モリン特異点のソーム多項式の係数は単項式置換に対してどのように振る舞い、それが収束性と正値性に何を示唆するか？

主な発見

• モリン特異点のソーム多項式に関する正値性予想が成り立つ限り、GGL予想は次数 > 2n¹⁰ の一般な射影的超曲面に対して成り立つ。
• 著者らは、zj = j² のとき、級数 ∑s=0∞ Tp_i+s(el−em) z^i+s(el−em) が収束することを証明し、正値性予想を支持する。
• k ≤ 8 の場合、すべての係数 Tp_k⁰ が正であることが示され、Conjecture 1.2(1) に対する強い証拠が得られた。
• k=3 の場合、Tp_i+el−em / Tp_i の比は 9 未満で有界であり、正値性予想の第二部を支持する。
• 留数公式により、Tp_k⁰ における c_i1…c_ik の係数は、ある種のシフトされたソーム多項式の和に等しく、組合せ論と幾何学を結びつける。
• 本稿は、zj = j² のときの級数の収束性が正値性予想を示唆することを確立し、Conjecture 1.2(2) の不等式が成り立つ可能性があることを示唆する。