[论文解读] Tight Analysis of Priority Queuing Policy for Egress Traffic

Jun Kawahara, Koji Kobayashi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2012

Optimization and Search Problems参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文针对具有多个优先级级别的QoS交换机中的出站流量，提供了优先级队列（PQ）策略的紧致竞争分析。它推导出PQ的精确竞争比为 $2 - \min_{x \in [1,m-1]} \left\{ \frac{\alpha_{x+1}}{\sum_{j=1}^{x+1} \alpha_j} \right\}$，并为任意确定性在线算法建立了匹配的下界 $1 + \frac{\alpha^3 + \alpha^2 + \alpha}{\alpha^4 + 4\alpha^3 + 3\alpha^2 + 4\alpha + 1}$，从而在最坏情况分析下填补了该策略的理论空白。

ABSTRACT

Recently, the problems of evaluating performances of switches and routers have been formulated as online problems, and a great amount of results have been presented. In this paper, we focus on managing outgoing packets (called {\em egress traffic}) on switches that support Quality of Service (QoS), and analyze the performance of one of the most fundamental scheduling policies {\em Priority Queuing} ($PQ$) using competitive analysis. We formulate the problem of managing egress queues as follows: An output interface is equipped with $m$ queues, each of which has a buffer of size $B$. The size of a packet is unit, and each buffer can store up to $B$ packets simultaneously. Each packet is associated with one of $m$ priority values $α_{j}$ ($1 \leq j \leq m$), where $α_{1} \leq α_{2} \leq \cdots \leq α_{m}$, $α_{1} = 1$, and $α_{m} = α$ and the task of an online algorithm is to select one of $m$ queues at each scheduling step. The purpose of this problem is to maximize the sum of the values of the scheduled packets. For any $B$ and any $m$, we show that the competitive ratio of $PQ$ is exactly $2 - \min_{x \in [1, m-1] } \{ \frac{ α_{x+1} }{ \sum_{j = 1}^{x+1} α_{j} } \}$. That is, we conduct a complete analysis of the performance of $PQ$ using worst case analysis. Moreover, we show that no deterministic online algorithm can have a competitive ratio smaller than $1 + \frac{ α^3 + α^2 + α}{ α^4 + 4 α^3 + 3 α^2 + 4 α+ 1 }$.

研究动机与目标

• 分析使用竞争分析方法管理QoS交换机中出站数据包（出站流量）的优先级队列（PQ）策略的性能。
• 在考虑多个优先级级别和有限缓冲区大小的前提下，推导PQ在最坏输入序列下的精确竞争比。
• 在相同模型下，为任意确定性在线算法建立竞争比的下界。
• 在该调度设置中，填补PQ性能（上界）与最佳可能确定性算法性能（下界）之间的差距。

提出的方法

• 将出站流量管理形式化为一个在线问题，包含m个优先级队列，每个队列大小为B，其中数据包具有值 α₁ ≤ α₂ ≤ ... ≤ αₘ。
• 使用竞争分析方法，在最坏情况下比较在线算法（ON）与最优离线算法（OPT）的性能。
• 构造对抗性输入序列，以最大化OPT与ON性能的比值，同时考虑随时间推移的数据包到达和调度事件。
• 通过求解所有可能对抗性配置下最大性能比的最小值，推导出竞争比。
• 应用优化技术，通过求解对抗构造中x、y和z的关键值，最小化竞争比表达式。
• 通过分析所有确定性在线算法的最坏情况性能，推导出下界，从而得到一个包含α的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有m个优先级队列和有限缓冲区大小B的交换机中，优先级队列（PQ）策略用于出站流量的精确竞争比是多少？
• RQ2 PQ的竞争比能否被紧致界定，且能否填补其性能与理论下界之间的差距？
• RQ3 在此出站流量调度模型中，任意确定性在线算法可实现的最佳竞争比是多少？
• RQ4 PQ的竞争比如何依赖于优先级值 α₁, ..., αₘ，特别是连续优先级之间的比值？
• RQ5 该分析能否扩展到可变大小的数据包，或不同的目标函数（如公平性），而非仅关注数据包值的总和？

主要发现

• 优先级队列（PQ）的竞争比精确为 $2 - \min_{x \in [1,m-1]} \left\{ \frac{\alpha_{x+1}}{\sum_{j=1}^{x+1} \alpha_j} \right\}$，其依赖于连续优先级级别之间的相对值。
• 该竞争比是紧致的，意味着在给定模型下，不存在对抗性输入序列能迫使PQ产生更差的性能比。
• 为任意确定性在线算法证明了下界 $1 + \frac{\alpha^3 + \alpha^2 + \alpha}{\alpha^4 + 4\alpha^3 + 3\alpha^2 + 4\alpha + 1}$，表明在最坏情况下，任何此类算法都无法优于该比值。
• PQ性能的上界与下界之间的差距已被填补，从而确立了PQ在此模型下在竞争分析意义下是最优的。
• 分析表明，PQ的最坏情况性能对高优先级与低优先级值之间比值极为敏感，尤其当α较大时。
• 推导出的下界严格大于1，表明即使在完全知晓优先级的情况下，任何确定性在线算法也无法在所有情况下达到最优。