[論文レビュー] Time and probability: From classical mechanics to relativistic Bohmian mechanics

Hrvoje Nikolić|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、古典的時間とは異なる量子固有時を時間パラメータとして用いることで、時空確率密度が量子固有時を経て保存される相対論的拡張をブーム理論に提案する。古典的相対論的統計力学との類似性に着目し、時空確率が自然に出現することを示し、巨視的測定において空間確率の記述が出現することで、相対論的ブーム理論における主要な概念的問題が解決される。

ABSTRACT

Bohmian mechanics can be generalized to a relativistic theory without preferred foliation, with a price of introducing a puzzling concept of spacetime probability conserved in a scalar time. We explain how analogous concept appears naturally in classical statistical mechanics of relativistic particles, with scalar time being identified with the proper time along particle trajectories. The conceptual understanding of relativistic Bohmian mechanics is significantly enriched by this classical insight. In particular, the analogy between classical and Bohmian mechanics suggests the interpretation of Bohmian scalar time as a quantum proper time different from the classical one, the two being related by a nonlocal scale factor calculated from the wave function. In many cases of practical interest, including the macroscopic measuring apparatus, the fundamental spacetime probability explains the more familiar space probability as an emergent approximate description. Requiring that the quantum proper time in the classical limit should reduce to the classical proper time, we propose that only massive particles have Bohmian trajectories. An analysis of the macroscopic measuring apparatus made up of massive particles restores agreement with the predictions of standard quantum theory.

研究の動機と目的

• 優先的な葉層を必要としない相対論的ブーム理論を構築するにあたり、概念的および確率論的課題を解決すること。
• 時空確率密度を、空間確率に基づく標準的量子力学的解釈と調和させること。
• 巨視的測定が、基礎的な時空確率枠組みから標準的量子予測をどのように回復するかを説明すること。
• 時空等価性におけるスカラー媒介変数 s の物理的意味を、古典的固有時とは異なる量子固有時として確立すること。
• 質量のある粒子にのみ一貫したブーム理論的軌道が存在することを、古典的極限の要請に基づいて示すこと。

提案手法

• 粒子軌道に沿ったスカラー媒介変数 s を用いた時空等価性方程式 ∂|ψ|²/∂s + ∂μ(|ψ|²Vμ) = 0 を導入する。
• 波動関数から導かれる非局所的スケーリング因子として量子固有時を定義し、古典的固有時との非局所的変換によって関連付ける。
• 相対論的ハミルトニアン・ジャコビ形式を用いて、相対論的粒子の古典的統計力学における時空確率保存を導出する。
• 時空確率の概念をクライン=ゴルドン方程式に適用し、相対論的共変性を保証する。
• 量子固有時のゆらぎを平均化することで、巨視的系において空間等価性が出現的性質として現れることを導出する。
• 確率保存を保証するための速度則 Vμ = jμ / |ψ|² を導入し、量子固有時パラメータ s 沿いの動的法則を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 優先的な葉層を必要としない相対論的ブーム理論において、時空確率を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 時空等価性方程式におけるスカラー媒介変数 s の物理的意味は何か？
• RQ3 量子固有時と古典的固有時との関係は何か？また、古典的極限におけるその役割は何か？
• RQ4 標準的量子力学的空間確率予測は、基礎的な時空確率枠組みからどのように出現するか？
• RQ5 なぜこの相対論的定式化において、質量のある粒子にのみ明確なブーム理論的軌道が存在するのか？

主な発見

• 時空確率密度 |ψ|² はスカラー媒介変数 s 沿いに保存され、これは古典的固有時とは異なる量子固有時として解釈される。
• 古典的極限において、量子固有時は古典的固有時へと還元され、質量のない粒子がブーム理論的軌道を持たないことを正当化する。
• 質量のある粒子からなる巨視的系では、空間確率密度 |ψ|² が有効な記述として出現し、標準的量子予測が回復される。
• 電流 jμ から導かれる速度場 Vμ は、時空等価性を保証し、粒子軌道のための一貫した動的法則を提供する。
• 波パッケージ近似における ε ≈ 0 の場合、空間等価性が局在状態において近似的に成立することが示され、測定状況での使用を正当化する。
• 巨視的および微視的固有時にはスケール依存性による違いがある：巨視的時計は非ゼロの固有時を測定するが、微視的時計はゼロを測定する。これはフラクタル幾何学に類似している。