[論文レビュー] Homotopy algebras and noncommutative geometry

Alastair Hamilton, Andrey Lazarev|Bristol Research (University of Bristol)|Oct 29, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 42被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、$C_{\nu}$-代数のホッジ分解を Hochschild および循環コホモロジーに対して確立し、古典的結果を一般化する。また、ユニタリ $C_{\nu}$-代数がコホモロジー上にフォロビウス構造を持つとき、それが一意的にシンプレクティック $C_{\nu}$-代数に拡張可能であることを証明する——これは可換フォロビウス代数の $\infty$-一般化である。この枠組みにより、ポincare双対性空間のホモロジー上でのストリングトポロジー作用素のホモトピー不変な定義が可能になる。

ABSTRACT

We study cohomology theories of strongly homotopy algebras, namely $A_\infty, C_\infty$ and $L_\infty$-algebras and establish the Hodge decomposition of Hochschild and cyclic cohomology of $C_\infty$-algebras thus generalising previous work by Loday and Gerstenhaber-Schack. These results are then used to show that a $C_\infty$-algebra with an invariant inner product on its cohomology can be uniquely extended to a symplectic $C_\infty$-algebra (an $\infty$-generalisation of a commutative Frobenius algebra introduced by Kontsevich). As another application, we show that the `string topology' operations (the loop product, the loop bracket and the string bracket) are homotopy invariant and can be defined on the homology or equivariant homology of an arbitrary Poincare duality space.

研究の動機と目的

• Hochschild および循環コホモロジーのホッジ分解を、Loday や Gerstenhaber-Schack の先行研究を拡張して $C_{\nu}$-代数へ一般化すること。
• $C_{\nu}$-代数のコホモロジー上に不変内積を持つものとシンプレクティック $C_{\nu}$-代数との間の対応関係を確立すること。
• ストリングトポロジー作用素（ループ積、ループ括弧、ストリング括弧）がホモトピー不変であり、任意のポincare双対性空間のホモロジー上に定義可能であることを示すこと。
• シンプレクティック $C_n$-構造およびその準同型の持ち上げに関する障害理論を構築し、主要定理の構成を可能にする。

提案手法

• ∞-代数をホモロジー的ベクトル場を持つ形式的スーパemanifoldとして幾何学的に定義する。
• 形式的非可換微分幾何学を用いて、$A_{\infty}$, $C_{\infty}$, および $L_{\infty}$-代数のコホモロジーティーリーを分析する。
• 組合せ的技法に代わる幾何的アプローチにより、Hochschild および循環コホモロジーのホッジ分解を導出する。
• スペクトル系列およびコホモロジー的消失条件を用いて、$C_n$-代数構造および準同型の障害理論を構築する。
• ホッジ分解と障害理論を活用し、コホモロジー上にフォロビウス構造を持つ $C_{\nu}$-代数がホモトピー型で一意にシンプレクティック $C_{\nu}$-構造に拡張可能であることを証明する。
• 得られたシンプレクティック $C_{\nu}$-構造を用いて、有理数係数ポincare双対性空間のホモロジー上にホモトピー不変性を活かしたストリングトポロジー作用素を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hochschild および循環コホモロジーのホッジ分解は、厳密な可換代数を超えて $C_{\nu}$-代数へ一般化可能か？
• RQ2 コホモロジー上に不変内積を持つ $C_{\nu}$-代数が、一意的にシンプレクティック $C_{\nu}$-代数に拡張可能となる条件は何か？
• RQ3 ループ積やループ括弧などのストリングトポロジー作用素はホモトピー不変であり、任意のポincare双対性空間のホモロジー上に定義可能か？
• RQ4 シンプレクティック $C_n$-代数構造の存在性および一意性を支配する障害理論は何か？
• RQ5 シンプレクティック $C_{\nu}$-代数に関連するグラフホモロジー類は、元の $C_{\nu}$-代数およびそのコホモロジー的内積に依存するか？

主な発見

• Hochschild および循環コホモロジーのホッジ分解が $C_{\nu}$-代数に対し確立され、非ユニタリの場合を含む一般化が達成された。
• コホモロジー上にフォロビウス構造を持つユニタリ $C_{\nu}$-代数は、ホモトピー型で一意にシンプレクティック $C_{\nu}$-代数に弱同値である。
• 有理数係数ポincare双対性空間のコチェイン代数は、シンプレクティック $C_{\nu}$-代数に弱同値であり、ホモトピー不変ストリングトポロジー作用素の定義が可能である。
• ストリングトポロジー作用素（ループ積、ループ括弧、ストリング括弧）はホモトピー不変であり、任意のポincare双対性空間のホモロジーまたは等化ホモロジー上に定義可能である。
• シンプレクティック $C_{\nu}$-代数に関連するグラフホモロジー類は、元の $C_{\nu}$-代数のホモトピー型およびそのコホモロジー的内積にのみ依存する。
• $C_n$-代数構造および準同型の障害理論が構築され、主要対応定理の証明に用いられた。