[論文レビュー] Topological Considerations for Tuning and Fingering Stringed Instruments

Terry D. Allen, Camille Goudeseune|arXiv (Cornell University)|May 6, 2011

Music Technology and Sound Studies参考文献 21被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、フレット付き弦楽器におけるピッチマッピングをチューニングベクトルとプレーイング可能制約でモデル化することにより、ギターのチューニング、調性、および指使いを同時に最適化するトポロジカルフレームワークを提案する。このフレームワークにより、非標準チューニングや調性の体系的探索が可能となり、技術的難易度を低減できる。主な結果として、好まれるチューニングや調性が開放弦の調性的役割と一致することが示され、最適化された指使いの表記においてTAB譜が最適であることが判明した。

ABSTRACT

We present a formal language for assigning pitches to strings for fingered multi-string instruments, particularly the six-string guitar. Given the instrument's tuning (the strings' open pitches) and the compass of the fingers of the hand stopping the strings, the formalism yields a framework for simultaneously optimizing three things: the mapping of pitches to strings, the choice of instrument tuning, and the key of the composition. Final optimization relies on heuristics idiomatic to the tuning, the particular musical style, and the performer's proficiency.

研究の動機と目的

• 従来の研究がチューニングや調性を固定するのではなく、ギターの指使い問題をチューニング、調性、指使いを同時に最適化することで解決すること。
• 等temperamentにおけるチューニングベクトルとピッチインターバルを用いて、ピッチを弦とフレットにマッピングする形式的言語を開発すること。
• 指使いにおけるストレッチ、ジャンプ、開放弦使用の最適化を通じて、技術的器用さの要求を最小化すること。
• 特にブルースやジプシジャズなど指使いが限定的なジャンルにおいて、非標準チューニングや調性の体系的探索を可能にすること。
• 最適化された指使いの表記において、TAB譜がスタッフ譜よりも優れていることの証明。これは、弦とフレットの直接的な対応が可能だからである。

提案手法

• オクターブ12半音の等temperamentにおいて、ピッチインターバルを整数として表現し、トニックを基準にピッチクラスとスケール位置を定義する。
• ギターのチューニングを6要素の厳密に増加する開放弦ピッチのベクトルとしてモデル化し、隣接弦間のインターバル差を表す5要素のチューニングベクトルを導出する。
• 3つのコアコスト関数を定義する：スパンコスト（弦のストレッチを評価）、ジャンプコスト（コード間での親指移動を評価）、フレットコスト（フレットを押える弦の数を評価）。これらはすべて単調増加関数である。
• Fittsの法則を適用して予想されるジャンプ時間の推定を行い、スピードコストを予想時間と許容時間の比として定義する。これにより、ネック下部の位置を好む。
• 音楽的スタイル、演奏者の熟練度、そして慣習的なチューニング実践に基づくヒューリスティクスを用いて、最終的な最適化をガイドする。
• カポ使用は最適化から除外する。これは、カポの効果がトランスポジションと同等であり、探索空間を単純化できるためである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フレット付き弦楽器の演奏における技術的難易度を最小化するため、チューニング、調性、指使いをどのように同時に最適化できるか？
• RQ2 特定のチューニングや調性が他のものよりも演奏可能である理由となるトポロジカル特性やチューニングベクトルの性質は何か？
• RQ3 弦のストレッチ、指のジャンプ、開放弦使用といった制約が、さまざまなチューニングにおいて指使いの演奏性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 なぜTAB譜は最適化された指使いの表記において、スタッフ譜よりも適しているのか？
• RQ5 ブルースやジプシジャズなど、指使いが限定的なジャンルにおいて、非標準チューニングが演奏性をどの程度向上できるのか？

主な発見

• ストレッチ、ジャンプ、フレット使用に基づく合成コスト関数を最小化することで、本フレームワークはチューニング、調性、指使いの最適な組み合わせを効果的に同定できた。
• あるチューニングに対して好まれる調性は、そのピッチクラスが調性的に重要な開放弦（ドミナント、トニック、サブドミナントなど）と一致するものである。
• 標準チューニングでは、Eメジャーのような調性が好まれる。これはE、A、B、E′という4つの開放弦が重要な調性的音程に対応するためである。一方、E♭メジャーはそのようなピッチが少ないため、演奏性に劣る。
• カポの使用は最適化問題に影響しない。カポの効果はトランスポジションと同一であり、一般性を失うことなく無視できる。
• 指使いの最適化は、大きなジャンプや広いストレッチを避けるなど、音楽的スタイルや演奏者能力に関連したヒューリスティクスによってガイドされる際に最も効果的である。
• TAB譜が最適化された指使いの表記に優れていることが示された。これは、TAB譜が弦とフレットの割り当てを直接符号化しているのに対し、スタッフ譜はさらに clef やキー・シグネチャーの文脈が必要になるためである。