[論文レビュー] Topological Hochschild and cyclic homology for Differential graded categories

Gonçalo Tabuada|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、微分付きカテゴリ（dgカテゴリ）における位相的ホッホシュレーデルホモロジー（THH）および位相的循環ホモロジー（TC）を、dgカテゴリとエイレングラート＝マクレーンスペクトルカテゴリの間のクィルレン同値性を構成することによって確立する。さらに、代数的K理論からTHHへの非自明な自然変換の存在を証明し、ℚ上ではdgカテゴリの位相的同値性が準同値性と一致することを示す。

ABSTRACT

We define a topological Hochschild (THH) and cyclic (TC) homology theory for differential graded (dg) categories and construct several non-trivial natural transformations from algebraic K-theory to THH(-). In an intermediate step, we prove that the homotopy theory of dg categories is Quillen equivalent, through a four step zig-zag of Quillen equivalences, to the homotopy theory of Eilenberg-Mac Lane spectral categories. Finally, we show that over the rationals two dg categories are topological equivalent if and only if they are quasi-equivalent.

研究の動機と目的

• 微分付き（dg）カテゴリの文脈へ位相的ホッホシュレーデルホモロジーおよび循環ホモロジー理論を拡張すること。
• dgカテゴリのホモトピー理論とエイレングラート＝マクレーンスペクトルカテゴリのホモトピー理論との間のクィルレン同値性を確立すること。
• dgカテゴリに対して代数的K理論から位相的ホッホシュレーデルホモロジーへの自然変換を構成すること。
• ℚ上でのdgカテゴリの位相的同値性と準同値性の関係を明確にすること。

提案手法

• エイレングラート＝マクレーン環スペクトルHRを係数とするスペクトルカテゴリとしてのエイレングラート＝マクレーンスペクトルカテゴリの概念を導入する。
• dgカテゴリとエイレングラート＝マクレーンスペクトルカテゴリを結ぶ四段階のズイガッジによるクィルレン同値性の系列を構築する。
• スペンサーやマンデルのスペクトルカテゴリにおける位相的および循環ホモロジー理論を応用し、dgカテゴリにおけるTHHおよびTCを定義する。
• ボウスフィールド局所化および非加法的フィルトレーション技法を用いて、モデル構造および弱同値を確立する。
• クィルレンのモデルカテゴリ論および対称スペクトルを用いて、必要なホモトピー的同値性を構成する。
• HRカテゴリからスペクトルカテゴリへの制限関手を用いて、THHおよびTC理論をdgカテゴリへ移行させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的ホッホシュレーデルホモロジーはどのように微分付きカテゴリへ一般化できるか？
• RQ2 dgカテゴリの文脈において、代数的K理論と位相的ホッホシュレーデルホモロジーの関係は何か？
• RQ3 ℚ上では、二つのdgカテゴリが位相的に同値であるとは、かつて準同値であるとは限らないか？
• RQ4 dgカテゴリとスペクトルカテゴリの間のホモトピー論的関係は何か？
• RQ5 dgカテゴリのホモトピー理論は、エイレングラート＝マクレーンスペクトルカテゴリのホモトピー理論とクィルレン同値であるか？

主な発見

• dgカテゴリのホモトピー理論は、四段階のズイガッジを介して、エイレングラート＝マクレーンスペクトルカテゴリのホモトピー理論とクィルレン同値である。
• 整数環ℤ上のdgカテゴリに対して、代数的K理論から位相的ホッホシュレーデルホモロジーへの非自明な自然変換γₙおよびγₙ,ᵣが構成された。
• ℚ上では、二つのdgカテゴリが位相的に同値であることと、準同値であることとは同値である。
• 滑らかで射影的な代数的多様体Xの位相的ホッホシュレーデルホモロジーは、そのdg導来カテゴリDᵇ₉g(coh(X))のTHHと同値である。
• dgカテゴリにおけるTHHおよびTCの構成は、HRカテゴリからスペクトルカテゴリへの制限関手と、既存のスペクトルカテゴリにおけるTHHおよびTC理論の合成によって達成された。
• 本稿は、クィルレン同値性の基準および非加法的フィルトレーションの議論を含む、新たなホモトピー代数的道具を発展させ、それらは独立に価値あるものである。