[論文レビュー] Towards a theory of good SAT representations

Matthew Gwynne, Oliver Kullmann|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

Formal Methods in Verification参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、相対的条件（例：弧整合性）から、階層的クラスである clause-sets の絶対的条件への移行により、SAT 表現を評価する新しい理論的枠組みを提案する。具体的には、$υ\mathcal{UC}_k$、$υ\mathcal{PC}_k$、$υ\mathcal{WC}_k$ の階層であり、良さはターゲットクラスへの属性によって定義される。主な貢献は、新しい変数を追加せずにこれらの階層が厳密に増加することの証明であり、これにより高次のレベルでは特定のブール関数の表現が指数的によりコンパクトに可能になる。

ABSTRACT

We aim at providing a foundation of a theory of "good" SAT representations F of boolean functions f. We argue that the hierarchy UC_k of unit-refutation complete clause-sets of level k, introduced by the authors, provides the most basic target classes, that is, F in UC_k is to be achieved for k as small as feasible. If F does not contain new variables, i.e., F is equivalent (as a CNF) to f, then F in UC_1 is similar to "achieving (generalised) arc consistency" known from the literature (it is somewhat weaker, but theoretically much nicer to handle). We show that for polysize representations of boolean functions in this sense, the hierarchy UC_k is strict. The boolean functions for these separations are "doped" minimally unsatisfiable clause-sets of deficiency 1; these functions have been introduced in [Sloan, Soerenyi, Turan, 2007], and we generalise their construction and show a correspondence to a strengthened notion of irredundant sub-clause-sets. Turning from lower bounds to upper bounds, we believe that many common CNF representations fit into the UC_k scheme, and we give some basic tools to construct representations in UC_1 with new variables, based on the Tseitin translation. Note that regarding new variables the UC_1-representations are stronger than mere "arc consistency", since the new variables are not excluded from consideration.

研究の動機と目的

• 相対的条件ではなく絶対的条件に基づく、SAT 表現を評価する新しい理論的枠組みの構築。
• clause-sets の階層 $υ\mathcal{UC}_k$、$υ\mathcal{PC}_k$、$υ\mathcal{WC}_k$ を形式化し、表現品質の指標として分析すること。
• 新しい変数を用いない表現が、階層の高次のレベルで厳密に良い圧縮を達成できるかどうかの調査。
• 弧整合性や伝搬完全性が、複雑なブール関数を表現する際の限界を明らかにすること。
• 効率的な SAT 表現のためのオラクルや高度な還元が必要となる状況を特定すること。

提案手法

• clause-sets が $k$-ネストされたユニット・クラウーズ伝搬によって不充足可能性を検出できる能力に基づき、$υ\mathcal{UC}_k$ 階層を導入する。
• 各レベルで伝搬完全性を統合することで、$υ\mathcal{UC}_k$ の改良版として $υ\mathcal{PC}_k$ 階層を提案する。
• 改善された幅の概念を用いて $υ\mathcal{WC}_k$ 階層を定義し、$υ\mathcal{UC}_k \subseteq \u03c5\mathcal{WC}_k$ を保証するとともに、完全な解釈に基づく推論を可能にする。
• 最小前提集合とドーピングされた clause-sets を用いて、厳密な階層分離を示す困難なインスタンスを構築する。
• 極値的組合せ論とトラiggersハイパーグラフを用いて、低次の階層レベルにおける表現サイズの指数的下界を導出する。
• 二段階のアプローチを提案：まず新しい変数を用いて高次の $υ\mathcal{UC}_k$ クラスへの表現を構築し、次にその同等でより小さい表現（新しい変数なし）を探索する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しい変数を用いない場合、$υ\mathcal{UC}_k$ 階層は厳密に増加するか？
• RQ2 特定のブール関数に関して、$υ\mathcal{WC}_k$ 階層は $υ\mathcal{UC}_k$ よりも厳密によりコンパクトな表現を提供できるか？
• RQ3 $υ\mathcal{UC}_k$ では指数的サイズの表現が必要となるが、$υ\mathcal{UC}_{k+1}$ では新しい変数なしで多項式サイズの表現が可能となるようなブール関数は存在するか？
• RQ4 オラクルや高度な還元を用いることで、XOR クラウーズや鳩の巣原理のような難しいブール関数の表現における弧整合性の限界を克服できるか？
• RQ5 相対的条件のもとで、$υ\mathcal{WC}_k$ の表現力は $υ\mathcal{PC}_1$ を超えるか、それとも弧整合性に制限されるのか？

主な発見

• 新しい変数を用いない場合、$υ\mathcal{UC}_k$ 階層は厳密に増加する：各 $k$ に対して、$υ\mathcal{UC}_k$ では指数的サイズの clause-sets が必要となるが、$υ\mathcal{UC}_{k+1}$ では多項式サイズの表現が可能となるブール関数が存在する。
• $υ\mathcal{PC}_k$ 階層は $υ\mathcal{UC}_k$ の厳密な修正であり、伝搬完全性が表現品質のより洗練された指標を提供することを示している。
• $υ\mathcal{WC}_k$ 階層は $υ\mathcal{UC}_k$ よりも厳密に表現力が高く、完全な解釈に基づく推論が可能で、幅に基づく反証完全性を捉え込んでいる。
• 鳩の巣原理 $\mathrm{PHP}^m_m$ の標準的表現は w-hardness を $m-1$ とし、これは小さな弧整合的 clause-set では表現不可能であることを示している。
• XOR クラウーズのシステムに関しては、良い弧整合的表現が存在しないと仮説を立てており、これによりオラクルや高次の階層の必要性が示唆される。
• 本稿は、新しい変数を用いても、$υ\mathcal{WC}_k$ の表現力が弧整合性に制限される可能性があるという証拠を提供しており、これは Conjecture 10.3 が示唆する内容である。